{"id":463,"date":"2021-01-10T17:44:00","date_gmt":"2021-01-10T16:44:00","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=463"},"modified":"2022-04-21T17:11:43","modified_gmt":"2022-04-21T15:11:43","slug":"mediciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/01\/10\/mediciones\/","title":{"rendered":"Mediciones"},"content":{"rendered":"<p><span style=\"font-variant: small-caps\">Con esta entrada puedo<\/span> ganarme la enemistad de alg\u00fan f\u00edsico fan\u00e1tico. En cuanto alguno lea la frase \u00abcolapso de la funci\u00f3n de onda\u00bb sufrir\u00e1 un ataque de epilepsia. Esto tiene que ver con las interpretaciones filos\u00f3ficas de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, de las que hay muchas. Por fortuna, no hay ambig\u00fcedad la forma de realizar c\u00e1lculos. Y por suerte para nosotros, en Computaci\u00f3n Cu\u00e1ntica tendremos que lidiar casi siempre con un \u00fanico observable. Siento mucho inundarle con m\u00e1s contenido que el estrictamente necesario, pero mi teor\u00eda es que en conocimientos, m\u00e1s es siempre m\u00e1s.<\/p>\n<h4>Dos principios<\/h4>\n<p>En la entrada anterior present\u00e9 tres axiomas. Ahora nos toca ver dos principios adicionales.<\/p>\n<ul>\n<li>La aplicaci\u00f3n de operador observable a un sistema cu\u00e1ntico provoca un colapso del estado a uno de los vectores propios (<a href=\"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2020\/04\/03\/valores-y-vectores-propios\/\">eigenvectors<\/a>) de dicho operador.<\/li>\n<li>La probabilidad de que un vector propio concreto sea el elegido depende de la magnitud al cuadrado de su amplitud asociada en el estado cu\u00e1ntico anterior a la observaci\u00f3n. Este principio se conoce como \u00abregla de Born\u00bb.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Estos dos principios se tratan por separado por estar asociados a un proceso f\u00edsico diferente del de los axiomas. La visi\u00f3n del mundo (o <em>Weltanschauung<\/em>, porque me gusta el palabro alem\u00e1n) que se infiere de los tres axiomas es muy diferente a la que surge de estos dos nuevos principios. En el mundo de los tres axiomas, el estado cu\u00e1ntico evoluciona de forma determinista y reversible. No hay nada probabil\u00edstico en la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger. A este modelo se le conoce como \u00abevoluci\u00f3n unitaria\u00bb, por razones que veremos m\u00e1s adelante.<\/p>\n<p>En cambio, los dos nuevos principios corresponden al proceso conocido como medici\u00f3n. Se trata de un proceso irreversible y probabil\u00edstico, en el que se pierde buena parte de la informaci\u00f3n existente en la funci\u00f3n de onda anterior a la medici\u00f3n.<\/p>\n<p>La mayor\u00eda de los f\u00edsicos creen (en el sentido de creer en los dioses del Olimpo o en Nyarlathotep) que el proceso de medici\u00f3n y la regla de Born podr\u00edan derivarse de los tres axiomas. Nadie ha podido demostrarlo, de momento. En el otro bando, hay quienes creen que hace falta <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Objective-collapse_theory\">ampliar<\/a> la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger, o que el colapso tiene que ver con discordancias en el espaciotiempo, y que hace falta una teor\u00eda cu\u00e1ntica de la gravitaci\u00f3n para explicar esta parte. Personalmente, no me parece descabellado. Al fin y al cabo, la gravedad destruye informaci\u00f3n en los agujeros negros (nadie ha observado experimentalmente la radiaci\u00f3n de Hawking). En cualquier caso, mi opini\u00f3n sobre estos temas es la de un absoluto profano.<\/p>\n<h4>El estado como superposici\u00f3n<\/h4>\n<p>Vamos a ocuparnos del primer principio. Recordemos que, de acuerdo a los axiomas, un \u00abobservable\u00bb es un operador auto-adjunto que act\u00faa sobre los vectores de un espacio vectorial complejo. Exigimos que sea auto-adjunto, adem\u00e1s, para que sus valores propios sean n\u00fameros reales.<\/p>\n<p>Para simplificar, usar\u00e9 como ejemplo el sistema m\u00e1s simple: un ordenador cu\u00e1ntico con s\u00f3lo 1 qubit. El estado cu\u00e1ntico, en este caso, es un vector complejo en $\\mathbb{C}^2$. Es decir, el estado se describe mediante dos n\u00fameros complejos:<br \/>\n$$<br \/>\n\\alpha\\hat e_1 + \\beta\\hat e_2<br \/>\n$$La clave, en este punto, es averiguar qu\u00e9 son esos $\\hat e_1$ y $\\hat e_2$ que han aparecido de la nada. Son dos vectores unitarios (longitud igual a uno) que definen una \u00abbase\u00bb en el espacio vectorial. \u00bfCu\u00e1l base, en concreto? Necesitamos algo m\u00e1s de informaci\u00f3n para poder dar respuesta a esta pregunta&#8230;<\/p>\n<p>La respuesta consiste en que este ordenador de un qubit debe ofrecer un \u00aboperador observable\u00bb, cuya implementaci\u00f3n exacta es cosa del hardware. Lo que nos importa es que ese operador va a definir impl\u00edcitamente una base formada por sus vectores propios. \u00bfCu\u00e1ntos vectores propios tiene un operador auto-adjunto en $\\mathbb{C}^2$? Tiene dos, por supuesto: es un espacio de dos dimensiones, \u00bfno?. Podemos seguir llam\u00e1ndolos $\\hat e_1$ y $\\hat e_2$&#8230; o podemos ser m\u00e1s pr\u00e1cticos y llamarlos $\\vert 0\\rangle$ y $\\vert 1\\rangle$. Con esto, ya podemos afinar un poco m\u00e1s la definici\u00f3n del estado cu\u00e1ntico del qubit. Siempre podr\u00e1 describirse como una combinaci\u00f3n lineal de estos dos vectores o estados especiales:<br \/>\n$$<br \/>\n\\alpha\\vert 0\\rangle + \\beta\\vert 1\\rangle<br \/>\n$$La base formada por los vectores $\\vert 0\\rangle$ y $\\vert 1\\rangle$ se conoce como <em>base computacional<\/em> o, en ingl\u00e9s, <em>computational basis<\/em>. Al observable cuyo operador tiene esta base como vectores propios, voy a llamarlo, por motivos que desvelaremos a su debido tiempo, $M_z$.<\/p>\n<h4>La Regla de Born<\/h4>\n<p>Vamos a darle valores concretos a $\\alpha$ y $\\beta$. Supongamos que el estado del qubit es el siguiente:<br \/>\n$$<br \/>\n\\vert 0\\rangle + \\vert 1\\rangle<br \/>\n$$La regla de Born nos dice que, si aplicamos la medici\u00f3n $M_z$ a este estado, obtendremos como resultado el vector $\\vert 0\\rangle$ en la mitad de los experimentos, y $\\vert 1\\rangle$ en la otra mitad de las veces. Supongamos, por el contrario, que el estado es:<br \/>\n$$<br \/>\n3\\vert 0\\rangle + 4\\vert 1\\rangle<br \/>\n$$En este caso, obtendremos $\\vert 0\\rangle$ con una probabilidad de $\\frac{9}{25}$, esto es, un 36% de los casos. Y obtendremos $\\vert 1\\rangle$ con una probabilidad de $\\frac{16}{25}$, que es el 64%.<\/p>\n<p>\u00bfY si el estado inicial es directamente $\\vert 0\\rangle$? Pues en este caso, siempre saldr\u00e1 $\\vert 0\\rangle$ como resultado. En general, si el estado cu\u00e1ntico es \u00e9ste:<br \/>\n$$<br \/>\n\\alpha\\vert 0\\rangle + \\beta\\vert 1\\rangle<br \/>\n$$la probabilidad de que obtengamos $\\vert 0\\rangle$ es<br \/>\n$$<br \/>\n\\frac{\\alpha^2}{\\alpha^2+\\beta^2}<br \/>\n$$y la probabilidad de que salga $\\vert 1\\rangle$ es la complementaria.<\/p>\n<h4>Normalizaci\u00f3n<\/h4>\n<p>Un m\u00e9dico no debe hacer da\u00f1o, y un escritor t\u00e9cnico nunca debe confundir al lector. A quienes ya conocen algo de Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica les extra\u00f1ar\u00e1 que haya puesto el siguiente estado como ejemplo:<br \/>\n$$<br \/>\n\\vert 0\\rangle + \\vert 1\\rangle<br \/>\n$$\u00bfPor qu\u00e9? Pues porque los estados suelen representarse de manera que su longitud sea la unidad: $\\vert\\vert\\psi\\vert\\vert =1$. Se trata de un convenio, simplemente. El estado anterior normalmente se escribe as\u00ed:<br \/>\n$$<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt 2}\\vert 0\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt 2}\\vert 1\\rangle<br \/>\n$$En general, como convenio se pide lo siguiente:<br \/>\n$$<br \/>\n\\alpha\\vert 0\\rangle + \\beta\\vert 1\\rangle\\quad\\alpha\\alpha^&#42; + \\beta\\beta^&#42; = 1<br \/>\n$$Como $\\alpha$ y $\\beta$ son n\u00fameros complejos, hemos tenido que multiplicarlos por sus respectivos conjugados. La diferencia entre normalizar los estados y no normalizarlos consiste en que, si no los normalizamos, tendremos que hacer malabares con la norma del estado en algunas f\u00f3rmulas. Por lo tanto, de ahora en adelante, el estado que represent\u00e1bamos como $3\\vert 0\\rangle + 4\\vert 1\\rangle$ lo escribiremos como $0.6\\vert 0\\rangle + 0.8\\vert 1\\rangle$ para evitar problemas.<\/p>\n<p>En una exposici\u00f3n m\u00e1s rigurosa de la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica tendr\u00edamos que haber empezado diciendo que el estado cu\u00e1ntico se representa mediante un \u00abrayo\u00bb en $\\mathbb{C}^n$. O m\u00e1s oscuramente, que es un elemento de un espacio proyectivo de $\\mathbb{C}^n$. Chino mandar\u00edn, vamos, pero ya sabemos qu\u00e9 es lo que quieren decir.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Con esta entrada puedo ganarme la enemistad de alg\u00fan f\u00edsico fan\u00e1tico. En cuanto alguno lea la frase \u00abcolapso de la funci\u00f3n de onda\u00bb sufrir\u00e1 un ataque de epilepsia. Esto tiene que ver con las interpretaciones filos\u00f3ficas de la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, de las que hay muchas. 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