{"id":530,"date":"2021-01-21T21:54:03","date_gmt":"2021-01-21T20:54:03","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=530"},"modified":"2022-04-21T17:11:31","modified_gmt":"2022-04-21T15:11:31","slug":"la-polarizacion-de-la-luz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/01\/21\/la-polarizacion-de-la-luz\/","title":{"rendered":"La polarizaci\u00f3n de la luz"},"content":{"rendered":"<p><span style=\"font-variant: small-caps\">En mi opini\u00f3n<\/span>, esta es la entrada m\u00e1s importante para entender lo necesario antes de pasar ya a la Computaci\u00f3n Cu\u00e1ntica. Por favor, cualquier duda, como ya he dicho, pas\u00e1dmela en los comentarios o directamente a mi email. Aqu\u00ed vamos a mostrar un experimento en el que veremos:<\/p>\n<ul>\n<li>El estado cu\u00e1ntico de un sistema f\u00edsico muy sencillo, similar en muchas cosas a c\u00f3mo funciona un qubit.<\/li>\n<li>Un \u00abaparato de medici\u00f3n\u00bb que implementa un observable cu\u00e1ntico.<\/li>\n<li>C\u00f3mo la elecci\u00f3n de una base depende del aparato de medici\u00f3n y su configuraci\u00f3n.<\/li>\n<li>Qu\u00e9 ocurre cuando se repite una medici\u00f3n.<\/li>\n<li>La regla de Born en acci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n<p>El \u00abexperimento\u00bb, en s\u00ed, est\u00e1 grabado en el siguiente v\u00eddeo. No he narrado el v\u00eddeo, para no alargarlo innecesariamente. Todas las explicaciones van el texto que sigue a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Polarizacio\u0301n\" width=\"580\" height=\"326\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MBzzaHl-sgQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<h4>Nuestro estado cu\u00e1ntico<\/h4>\n<p>Para el experimento, he utilizado una l\u00e1mpara de sal rosa del Himalaya. Bueno, eso es lo que cree mi mujer. Yo creo que est\u00e1 hecha de caca de yeti. Entre los yetis y los yaks, tienen todas las cumbres del Himalaya cubiertas de esti\u00e9rcol. Hay incluso un pa\u00eds, But\u00e1n, que se ha hecho famoso por sus exportaciones de&#8230; adivine&#8230; \u00a1butano!, que se produce al fermentar todo este jaleo. De hecho, los butaneros espa\u00f1oles visten uniforme naranja en homenaje a los monjes budistas del But\u00e1n.<\/p>\n<p>En realidad, la l\u00e1mpara del yeti no tiene nada de especial. Pod\u00edamos haber usado casi cualquier fuente de luz natural. Pero en Madrid hac\u00eda mal tiempo, y he querido asegurarme de tener suficiente luz para la prueba. Lo importante es que parte del estado de cada fot\u00f3n es una direcci\u00f3n espacial a la que llamamos <em>polarizaci\u00f3n<\/em>. En la \u00e9poca pre-cu\u00e1ntica, esto se explicaba postulando que la luz era una vibraci\u00f3n transversal, como la de una cuerda de viol\u00edn, y la polarizaci\u00f3n se entend\u00eda como la direcci\u00f3n transversal en la que vibraba la cuerda. No era una interpretaci\u00f3n gratuita: seg\u00fan las ecuaciones de Maxwell, efectivamente, la luz se propaga como oscilaciones transversales de los campos el\u00e9ctricos y magn\u00e9ticos, con la propiedad adicional de que estos dos campos oscilan formando un \u00e1ngulo de 90\u00ba.<\/p>\n<p>Los fotones que salen del Sol y de la l\u00e1mpara de caca de yeti no tienen una polarizaci\u00f3n preferente. Cada fot\u00f3n, individualmente, puede estar oscilando en cualquier direcci\u00f3n transversal a su l\u00ednea de propagaci\u00f3n. Hay que tener presente que una direcci\u00f3n y la direcci\u00f3n opuesta en 180\u00ba act\u00faan de la misma manera si s\u00f3lo tenemos en cuenta la polarizaci\u00f3n. Existe otra variable en el estado cu\u00e1ntico, que es la fase, que ignoraremos en este experimento.<\/p>\n<h4>El filtro polarizador<\/h4>\n<p>Un filtro polarizador es una l\u00e1mina semitransparente que deja pasar solamente los fotones que oscilan en una direcci\u00f3n determinada (o en la direcci\u00f3n opuesta). Al menos, esta es la interpretaci\u00f3n cl\u00e1sica, que tendremos que refinar un poco para tener en cuenta los fen\u00f3menos puramente cu\u00e1nticos. Por ejemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>El filtro act\u00faa fot\u00f3n a fot\u00f3n, no colectivamente.<\/li>\n<li>Supongamos que el filtro est\u00e1 orientado verticalmente. Si le llega un fot\u00f3n orientado a 0\u00ba (respecto a la direcci\u00f3n vertical), el fot\u00f3n pasa. Si llega un fot\u00f3n polarizado a 90\u00ba, el fot\u00f3n no pasa ni sobornando al portero.<\/li>\n<li>\u00bfQu\u00e9 pasa, sin embargo, cuando el fot\u00f3n est\u00e1 \u00abpolarizado a 45\u00ba\u00bb?<\/li>\n<\/ul>\n<p>Tenemos que empezar a pensar cu\u00e1nticamente para obtener la respuesta correcta. El filtro es un aparato de medici\u00f3n, y como tal, define un operador autoadjunto sobre el estado cu\u00e1ntico. Eso significa que el filtro induce una base vectorial en $\\mathbb{C}^2$ formada por dos vectores. Vamos a llamar a esos dos vectores $\\vert\\uparrow\\rangle$ y $\\vert\\rightarrow\\rangle$. Entonces, podemos encontrar fotones en cada uno de estos casos, entre muchos otros:<br \/>\n$$<br \/>\n\\eqalign{<br \/>\n\\vert\\uparrow\\rangle&amp;\\quad 0\u00ba\\cr<br \/>\n\\vert\\rightarrow\\rangle&amp;\\quad 90\u00ba\\cr<br \/>\n\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\uparrow\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\rightarrow\\rangle&amp;\\quad45\u00ba<br \/>\n}$$Cuando el filtro est\u00e1 orientado verticalmente, los fotones con estado $\\vert\\uparrow\\rangle$ pasan sin problemas, y los que est\u00e1n en estado $\\vert\\rightarrow\\rangle$ se bloquean. Si un fot\u00f3n est\u00e1 polarizado en 45\u00ba, la Naturaleza, o Azatoth, o quien usted prefiera, tira una moneda y lo deja pasar con una posibilidad de $\\frac{1}{2}$. Si el estado es m\u00e1s complicado, como en este caso:<br \/>\n$$<br \/>\n\\alpha\\vert\\uparrow\\rangle + \\beta\\vert\\rightarrow\\rangle<br \/>\n$$el fot\u00f3n pasar\u00e1 con una probabilidad igual a:<br \/>\n$$<br \/>\n\\frac{\\alpha^2}{\\alpha^2 + \\beta^2}<br \/>\n$$Y si nos dan el estado con $\\alpha$ y $\\beta$ normalizados, la posibilidad de que el fot\u00f3n supere la prueba es, simplemente, $\\alpha^2$.<\/p>\n<p>Esto se repite fot\u00f3n por fot\u00f3n. Si la distribuci\u00f3n de las polarizaciones es uniforme, podemos hacer el c\u00e1lculo exacto de cu\u00e1l es la esperanza $\\mathbb{E}$ del porcentaje de fotones que supera el filtro. No he hecho el c\u00e1lculo: os lo dejo como ejercicio. En cualquier caso, el efecto ser\u00e1 que la luz se aten\u00faa un poco al pasar por el filtro, porque una parte de los fotones no sobreviven a la prueba. En el v\u00eddeo, hago rotar la orientaci\u00f3n del filtro para que ve\u00e1is que da igual la orientaci\u00f3n de este primer filtro. Cada \u00e1ngulo de rotaci\u00f3n implica una base diferente para el estado cu\u00e1ntico, pero al final, el n\u00famero de fotones que pasan es el mismo.<\/p>\n<h4>Colapso<\/h4>\n<p>El filtro polarizador <strong>colapsa<\/strong> el estado cu\u00e1ntico inicial.<\/p>\n<p>A los f\u00edsicos no les gusta la frase anterior, por lo general, pero es la mejor forma que conozco de explicar c\u00f3mo funciona la medici\u00f3n en un sistema cu\u00e1ntico. Todos los coeficientes $\\beta$ de los fotones desaparecen, porque todos los fotones que pasan el filtro se quedan en el estado $\\vert\\uparrow\\rangle$. No solamente eso, sino que cualquier informaci\u00f3n codificada en la distribuci\u00f3n previa de los estados de polarizaci\u00f3n desaparece tras aplicar el filtro. Todos los fotones que forman el rayo de salida del filtro est\u00e1n alineados verticalmente (respecto a la orientaci\u00f3n del filtro), como buenos soldaditos.<\/p>\n<h4>Un segundo filtro<\/h4>\n<p>Para comprobar la afirmaci\u00f3n anterior, vamos a introducir un segundo filtro en el experimento. En el v\u00eddeo, hago girar el segundo filtro respecto al primero. Cuando los dos filtros est\u00e1n alineados, el vector propio favorecido por el segundo filtro es id\u00e9ntico al primero. \u00a1Y todos los fotones que salen del primero ya est\u00e1n alineados en esa direcci\u00f3n! O dicho equivalentemente: est\u00e1n en el estado cu\u00e1ntico apropiado. Por supuesto, no se nota que hay un segundo filtro.<\/p>\n<p>Pero si roto el segundo filtro noventa grados, la luz se bloquea. \u00bfPor qu\u00e9? Pues porque en la base de vectores propios inducida por el segundo filtro, todos los fotones del primer filtro est\u00e1n en el estado $\\vert\\rightarrow^\\prime\\rangle$. Es decir, est\u00e1n todos los fotones en el estado desafortunado.<\/p>\n<p>Observad que he puesto un acento $\\prime$ tras la flecha horizontal del estado. Esto es porque tenemos dos bases vectoriales: la del primer filtro y la del segundo. Si uso la misma notaci\u00f3n para las dos bases, nos vamos a confundir. Con este convenio, $\\vert\\uparrow\\rangle$ es el primer vector de la base del primer filtro, y $\\vert\\uparrow^\\prime\\rangle$ es el primer vector de la base del segundo. Y as\u00ed sucesivamente.<\/p>\n<p>Por supuesto, si el \u00e1ngulo relativo de rotaci\u00f3n entre los filtros es cualquier otro valor intermedio, vamos a conseguir que la luz se aten\u00fae, sin bloquearse completamente. No hay nada parad\u00f3jico ni (creo) dif\u00edcil de comprender en el experimento con hasta dos filtros. De momento, dejamos los dos filtros cruzados, para que bloqueen toda la luz de la l\u00e1mpara de caca de yeti.<\/p>\n<h4>M\u00e1s filtros, m\u00e1s luz<\/h4>\n<p>La paradoja aparece cuando introducimos un tercer filtro en el montaje. Si ponemos el tercer filtro antes o despu\u00e9s de los dos primeros, seguimos bloqueando completamente la luz. Pero si rotamos el tercer filtro en un \u00e1ngulo de 45\u00ba y lo introducimos <strong>entre<\/strong> los dos filtros originales, \u00a1sorpresa!, la luz vuelve a pasar.<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/quantum_world.jpg?resize=270%2C300&#038;ssl=1\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-597\" width=\"270\" height=\"300\" alt=\"\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/quantum_world.jpg?resize=270%2C300&amp;ssl=1 270w, https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/quantum_world.jpg?resize=920%2C1024&amp;ssl=1 920w, https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/quantum_world.jpg?resize=768%2C855&amp;ssl=1 768w, https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/quantum_world.jpg?w=930&amp;ssl=1 930w\" sizes=\"auto, (max-width: 270px) 100vw, 270px\" \/>Veamos la secuencia de pasos por la que un fot\u00f3n puede sobrevivir a los tres filtros:<\/p>\n<ol>\n<li>Un alegre e ingenuo fot\u00f3n con estado $\\alpha\\vert\\uparrow\\rangle + \\beta\\vert\\rightarrow\\rangle$ se acerca al primer filtro. Voy a asumir que el estado est\u00e1 normalizado, por simplicidad.<\/li>\n<li>El primer filtro deja pasar a este fot\u00f3n, con probabilidad $\\alpha^2$ y colapsa su funci\u00f3n de onda, machacando su $\\beta$. El fot\u00f3n ha sobrevivido, al precio de quedarse m\u00e1s tieso que un perchero. Su estado es ahora $\\vert\\uparrow\\rangle$.<\/li>\n<li>El fot\u00f3n llega al filtro del medio, que est\u00e1 girado 45\u00ba. \u00bfCree usted que al filtro intermedio le importa que el fot\u00f3n venga orientado a lo largo de un vector propio del primer filtro? \u00a1Ni hablar! El filtro del medio va a ver al fot\u00f3n en un estado bastardo $\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\uparrow^\\prime\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\rightarrow^\\prime\\rangle$. Observad los acentos: estamos hablando de la base del filtro del medio, que es diferente a la primera base.<\/li>\n<li>Por lo tanto, nuestro vapuleado fot\u00f3n tiene la mitad de las papeletas para sobrevivir a su segundo encontronazo. Supongamos que sobrevive. Repita conmigo ahora: el precio que va a pagar es quedarse en el estado $\\vert\\uparrow^\\prime\\rangle$.<\/li>\n<li>Y esto empieza a sonar repetitivo. Nos acercamos al tercer filtro, que est\u00e1 rotado otros 45\u00ba. Nuestro disciplinado fot\u00f3n, que ya estuvo mirando hacia el Polo Norte, viene ahora mirando hacia Cuenca, pero al tercer filtro se la trae al pairo. Para el \u00faltimo filtro, el fot\u00f3n est\u00e1 en el estado $\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\uparrow^{\\prime\\prime}\\rangle + \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\vert\\rightarrow^{\\prime\\prime}\\rangle$. Hay dos acentos ahora en los vectores de la base. Por supuesto, el fot\u00f3n tiene una probabilidad de $0.5$ de sobrevivir. La mitad caer\u00e1 en combate, pero una parte pasar\u00e1 la \u00faltima prueba. Y se har\u00e1 la luz.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Y ya se me han acabado los filtros, lo prometo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En mi opini\u00f3n, esta es la entrada m\u00e1s importante para entender lo necesario antes de pasar ya a la Computaci\u00f3n Cu\u00e1ntica. Por favor, cualquier duda, como ya he dicho, pas\u00e1dmela en los comentarios o directamente a mi email. 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