{"id":564,"date":"2021-01-22T21:39:29","date_gmt":"2021-01-22T20:39:29","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=564"},"modified":"2022-05-05T18:33:40","modified_gmt":"2022-05-05T16:33:40","slug":"historia-de-un-qubit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/01\/22\/historia-de-un-qubit\/","title":{"rendered":"Historia de un qubit"},"content":{"rendered":"

Veamos ahora<\/span> c\u00f3mo representar un qubit utilizando la menor redundancia posible. Sabemos que el estado de un qubit es, por definici\u00f3n, un vector en $\\mathbb{C}^2$. Eso significa que necesitamos dos componentes complejos para representar su estado. Por motivos hist\u00f3rico, se suele usar la letra $\\psi$ para denotar el estado cu\u00e1ntico. Por lo tanto y resumiendo:
\n$$\\displaylines{
\n\\vert\\psi\\rangle = \\alpha\\vert 0\\rangle + \\beta\\vert 1\\rangle \\cr
\n\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{C}}
\n$$A los componentes complejos del estado cu\u00e1ntico se les suele llamar amplitudes<\/em>, como recuerdo de que en la metodolog\u00eda original de Schr\u00f6dinger, $\\psi$ se conoce como \u00abfunci\u00f3n de onda\u00bb.<\/p>\n

Observad que, sin decir nada, he hecho que los componentes vayan autom\u00e1ticamente asociados a la base formada por los vectores $\\vert 0\\rangle$ y $\\vert 1\\rangle$. Los componentes de un vector siempre tienen que referirse a una base concreta, y la base universalmente utilizada en Quantum Computing es la base anterior, conocida como \u00abbase computacional\u00bb. Estos dos vectores son especiales porque son los vectores propios, o eigenvectors, del operador de medici\u00f3n que transforma un qubit en un bit cl\u00e1sico.<\/p>\n

Ahora bien, ya he mencionado que, en realidad, el estado cu\u00e1ntico es un rayo dentro del espacio vectorial complejo. Es decir, todos los estados que apuntan en la misma direcci\u00f3n son f\u00edsicamente equivalentes. Por convenio, y para simplificar la forma de calcular, nos interesa elegir el vector dentro del rayo cuya longitud es la unidad. Por lo tanto, vamos a exigir que nuestras amplitudes cumplan con esta condici\u00f3n adicional:
\n$$\\alpha\\alpha^* +\\beta\\beta^*=1$$No olvidemos, ni por un momento, que tanto $\\alpha$ como $\\beta$ son n\u00fameros complejos. Por este motivo, no elevamos simplemente al cuadrado cada amplitud, sino que tenemos que multiplicarlas por sus valores conjugados, si queremos que la suma de los cuadrados de las amplitudes sea un valor real.<\/p>\n

Notaci\u00f3n matricial<\/h4>\n

Hay programadores ninjas que se buscan directamente la vida con la notaci\u00f3n de Dirac y pueden hacer todos los c\u00e1lculos necesarios directamente con ella. La mayor\u00eda de los mortales, en cambio, lo vemos todo m\u00e1s claro si utilizamos la notaci\u00f3n matricial de toda la vida. \u00a1Ojo!, de momento estamos tratando con vectores, y las matrices cuadradas propiamente dichas aparecer\u00e1n en breve, pero en esta notaci\u00f3n, un vector puede representarse como una matriz vertical, de dos filas y una columna:
\n$$\\vert\\psi\\rangle = \\pmatrix{\\alpha \\cr \\beta}$$La ventaja de esta notaci\u00f3n es que nos permite omitir la base: impl\u00edcitamente, se refiere a la base computacional. Por lo tanto, es una notaci\u00f3n mucho m\u00e1s compacta. Otra ventaja es que nos permite entender por otra v\u00eda de qu\u00e9 va todo ese rollo de los bras, los kets y eso del \u00abespacio vectorial dual\u00bb. Hemos visto, por ejemplo, que un ket es una matriz vertical. Resulta, entonces, que un bra es simplemente una matriz horizontal:
\n$$\\langle\\psi\\vert = \\pmatrix{\\alpha^* & \\beta^* }$$Por supuesto, para pasar del ket al bra hemos tenido que conjugar las amplitudes. Con esta notaci\u00f3n, adem\u00e1s, el producto escalar se calcula muy f\u00e1cilmente:
\n$$\\eqalign{
\n\\langle\\psi\\vert\\psi\\rangle =& \\pmatrix{\\alpha \\cr \\beta} \\times \\pmatrix{\\alpha^* & \\beta^* } \\cr
\n=& \\pmatrix{ \\alpha\\alpha^* +\\beta\\beta^* }
\n}$$Aqu\u00ed tenemos que recordar las reglas del \u00e1lgebra lineal: si multiplicamos una matriz $m\\times n$ por otra $n\\times p$, el resultado es una matriz $m\\times p$. Nosotros hemos multiplicado una matriz $1 \\times 2$ por una $2\\times 1$, por lo que el resultado es una matriz de $1\\times 1$. Una sola celda, es decir, un escalar o valor num\u00e9rico a secas.<\/p>\n

El cero no es cero-cero<\/h4>\n

A esta parte le pongo un subt\u00edtulo separado porque es importante. \u00bfC\u00f3mo se representan, usando componentes, los dos vectores de la base computacional?
\n$$\\vert 0\\rangle \\equiv \\pmatrix{1 \\cr 0}\\quad\\vert 1\\rangle \\equiv \\pmatrix{0 \\cr 1}$$Esto es extremadamente simple, pero la experiencia personal me dice que es f\u00e1cil confundirse y creer que el vector del estado $\\vert 0\\rangle$ tiene sus componentes a cero.<\/p>\n

De hecho, el vector $\\pmatrix{0 \\cr 0}$ no es<\/em> un estado cu\u00e1ntico correcto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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