{"id":717,"date":"2021-01-25T13:40:05","date_gmt":"2021-01-25T12:40:05","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=717"},"modified":"2022-04-21T17:11:02","modified_gmt":"2022-04-21T15:11:02","slug":"la-esfera-de-bloch","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/01\/25\/la-esfera-de-bloch\/","title":{"rendered":"La esfera de Bloch"},"content":{"rendered":"<p><span style=\"font-variant:small-caps;\">Hemos quedado en<\/span> que el estado de un qubit necesita dos n\u00fameros complejos para representarse. Pero cada n\u00famero complejo tiene una parte real y otra imaginaria, por lo que en total tenemos cuatro valores reales para cada qubit. \u00bfSon imprescindibles todo? Parece que no, porque ya conocemos la condici\u00f3n de normalizaci\u00f3n: $\\alpha\\alpha^* +\\beta\\beta^*=1$. Con esta condici\u00f3n, podr\u00edamos utilizar solamente tres valores reales, y deducir el cuarto a partir de la normalizaci\u00f3n.<\/p>\n<h4>Equivalencia de fase<\/h4>\n<p>En realidad, el estado de un qubit aislado puede representarse con solamente <em>dos<\/em> n\u00fameros reales. Insisto:<\/p>\n<ul>\n<li>El estado de un qubit <strong>aislado<\/strong> puede representarse con dos n\u00fameros reales.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pongo el \u00e9nfasis en el aislamiento del qubit: cuando tengamos sistemas de m\u00e1s de un qubit, tendremos que volver a la representaci\u00f3n con tres valores reales, por culpa del <em>entrelazamiento<\/em>. Pero en lo que sigue, asumiremos que estamos tratando con un solo qubit suficientemente aislado del resto del universo.<\/p>\n<p>\u00bfDe d\u00f3nde sale la redundancia adicional? Pues del mismo hecho de que estamos tratando en realidad con lo que los matem\u00e1ticos llaman un <em>espacio proyectivo<\/em>. A la Naturaleza no le interesan los vectores complejos individuales, sino clases de equivalencia dentro de ese espacio vectorial. Una de esas clases de equivalencia viene dada por la posibilidad de multiplicar un vector complejo por una \u00abfase global\u00bb. La <em>fase<\/em> recibe ese nombre de la representaci\u00f3n de un n\u00famero complejo en coordenadas polares:<br \/>\n$$x + iy \\equiv \\rho\\cos\\theta + i\\rho\\sin\\theta<br \/>\n$$Haciendo uso de la <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/F%C3%B3rmula_de_Euler\">f\u00f3rmula de Euler<\/a>, podemos simplificar la identidad anterior de esta manera:<br \/>\n$$x + iy \\equiv \\rho e^{i\\theta}<br \/>\n$$Al radio $\\rho$ se le llama, entre muchos otros nombres, la magnitud, m\u00f3dulo o valor absoluto del n\u00famero complejo. Al \u00e1ngulo $\\theta$ se le conoce como <em>fase<\/em> o argumento. Nos quedaremos con \u00abfase\u00bb.<\/p>\n<p>La idea de la equivalencia de fase es que podemos multiplicar cualquier estado cu\u00e1ntico por una cantidad de la forma $e^{i\\phi}$ sin que la multiplicaci\u00f3n tenga consecuencias observables. Supongamos que tenemos un estado $\\pmatrix{\\alpha\\cr\\beta}$. Si las amplitudes est\u00e1n normalizadas, al realizar una medici\u00f3n tendremos una probabilidad $\\alpha\\alpha^* $ de medir el estado $\\vert 0\\rangle$, y $\\beta\\beta^* $ de medir $\\vert 0\\rangle$. Si sustituimos $\\alpha$ por $\\alpha e^{i\\phi}$ la primera probabilidad ser\u00e1 $\\alpha e^{i\\phi}(\\alpha e^{i\\phi})^* $, es decir, $\\alpha\\alpha^* e^{i\\phi}e^{-i\\phi}$.<\/p>\n<p>Puede que no vea a la primera, si no ha usado n\u00fameros recientemente, por qu\u00e9 uno de los exponentes cambia su signo. Recuerde que estamos calculando la conjugada de la fase, y que la conjugada s\u00f3lo cambia el signo de la parte imaginaria. Como la parte imaginaria, seg\u00fan la f\u00f3rmula de Euler, es $i$ multiplicada por un seno, al invertir el signo del \u00e1ngulo, invertimos la parte imaginaria. La parte real es un coseno, por lo que el cambio de signo no le afecta. Al final, encontraremos que $\\alpha\\alpha^* e^{i\\phi}e^{-i\\phi}$ es igual a $\\alpha\\alpha^* $, \u00a1que es exactamente la probabilidad antes de la multiplicaci\u00f3n por una fase!<\/p>\n<h4>Coordenadas polares<\/h4>\n<p>Para aprovechar esta equivalencia, vamos a describir expl\u00edcitamente un estado con sus amplitudes en coordenadas polares:<br \/>\n$$<br \/>\n\\pmatrix{\\alpha\\cr\\beta} = \\pmatrix{\\vert\\alpha\\vert e^{i\\phi_\\alpha}\\cr\\vert\\beta\\vert e^{i\\phi_\\beta}}<br \/>\n$$\u00bfQu\u00e9 tal si multiplicamos ambas amplitudes por la fase inversa a la fase original de $\\alpha$, es decir, por $e^{-i\\phi_\\alpha}$?<br \/>\n$$<br \/>\n\\pmatrix{\\alpha\\cr\\beta} \\cong \\pmatrix{\\vert\\alpha\\vert\\cr\\vert\\beta\\vert e^{i(\\phi_\\beta &#8211; \\phi_\\alpha)}} =<br \/>\n\\pmatrix{\\vert\\alpha\\vert\\cr\\vert\\beta\\vert e^{i\\phi}}<br \/>\n$$Con esta multiplicaci\u00f3n, hemos conseguido que la primera amplitud sea directamente un n\u00famero real, aunque la segunda amplitud siga siendo un complejo. Pero sabemos, adem\u00e1s, que las amplitudes est\u00e1n normalizadas. Por lo tanto, podemos permitirnos sustituir $\\vert\\alpha\\vert$ por $\\cos\\frac{\\theta}{2}$ y $\\vert\\beta\\vert$ por $\\sqrt{1 &#8211; \\vert\\alpha\\vert^2}$&#8230; es decir, por $\\sin\\frac{\\theta}{2}$. He elegido usar $\\frac{\\theta}{2}$ en vez de $\\theta$ directamente por motivos geom\u00e9tricos que veremos enseguida. Con todo esto, hemos conseguido representar el estado de cualquier qubit <em>aislado<\/em> de la siguiente manera:<br \/>\n$$<br \/>\n\\cos\\frac{\\theta}{2}\\vert 0\\rangle + e^{i\\phi}\\sin\\frac{\\theta}{2}\\vert 1\\rangle<br \/>\n$$Es decir, para representar un qubit s\u00f3lo necesitaremos dos valores reales, $\\theta$ y $\\phi$, que podemos interpretar como dos \u00e1ngulos dentro de los siguientes rangos:<br \/>\n$$<br \/>\n\\eqalign{<br \/>\n\\theta\\in&amp; [0, \\pi]\\cr<br \/>\n\\phi\\in&amp; [0, 2\\pi]<br \/>\n}<br \/>\n$$Si recuerda algo de geometr\u00eda anal\u00edtica, estos dos \u00e1ngulos m\u00e1s un radio forman un sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional.<\/p>\n<h4>La esfera de Bloch<\/h4>\n<p>Podemos, por lo tanto, representar visualmente el estado cu\u00e1ntico de un qubit aislado como un punto dentro de una esfera de radio unitario, como en la siguiente imagen:<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/blochsp.png?resize=300%2C264&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"264\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-729\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/blochsp.png?resize=300%2C264&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/blochsp.png?w=450&amp;ssl=1 450w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEn esta representaci\u00f3n, la coordenada $\\theta$ es la latitud, relativa al polo norte (no al ecuador), y $\\phi$ es la longitud, tomando como punto de partida el eje $X$. Hay un problema con las coordenadas polares, en general, que tambi\u00e9n aparece aqu\u00ed: la longitud en el polo norte y en el polo sur no est\u00e1 definida. Eso no es un problema, en la pr\u00e1ctica.<\/p>\n<p>\u00bfD\u00f3nde caen los dos vectores de la base computacional? Pues resulta que $\\vert 0\\rangle$ es el punto $\\lbrace\\theta=0, \\phi=0\\rbrace$, precisamente el polo norte, y $\\vert 1\\rangle$ es $\\lbrace\\theta=\\pi, \\phi=0\\rbrace$, el polo sur. He puesto que $\\phi$ es cero en estos dos puntos, pero da igual lo que pongamos.<\/p>\n<p>\u00bfRecord\u00e1is que en la entrada sobre <a href=\"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/01\/10\/mediciones\/\">mediciones<\/a>, llamamos $M_Z$ al operador de medici\u00f3n de la base computacional? Ahora ya puedo explicar de d\u00f3nde sale la $Z$: la base computacional se representa como puntos ant\u00edpodas orientados a lo largo del eje $Z$. En general, cualquier par de puntos ant\u00edpodas sobre la esfera corresponden a vectores de una posible base. Esto es: ser\u00edan siempre vectores de longitud unitaria perpendiculares entre s\u00ed.<\/p>\n<p>Cabe preguntarse entonces si los puntos ant\u00edpodas orientados a lo largo del eje $X$ y del eje $Y$ tienen alguna aplicaci\u00f3n, o al menos, alg\u00fan nombre especial. Y s\u00ed, tienen ambas cosas:<br \/>\n$$<br \/>\n\\eqalign{<br \/>\n\\vert+\\rangle =&amp; \\lbrace\\theta=\\frac{\\pi}{2}, \\phi=0\\rbrace\\quad\\text{eje X} \\cr<br \/>\n\\vert-\\rangle =&amp; \\lbrace\\theta=\\frac{\\pi}{2}, \\phi=\\pi\\rbrace \\cr<br \/>\n\\vert i\\rangle =&amp; \\lbrace\\theta=\\frac{\\pi}{2}, \\phi=\\frac{\\pi}{2}\\rbrace\\quad\\text{eje Y} \\cr<br \/>\n\\vert-i\\rangle =&amp; \\lbrace\\theta=\\frac{\\pi}{2}, \\phi=\\frac{3\\pi}{2}\\rbrace}<br \/>\n$$En especial, la base orientada a lo largo del eje $X$ en la esfera de Bloch se conoce como <em>base de Hadamard<\/em>, y es muy importante en los algoritmos cu\u00e1nticos. En la base computacional, los vectores de la base de Hadamard son:<br \/>\n$$<br \/>\n\\eqalign{<br \/>\n\\vert+\\rangle =&amp; \\frac{1}{\\sqrt{2}}(\\vert 0\\rangle + \\vert 1\\rangle) \\cr<br \/>\n\\vert-\\rangle =&amp; \\frac{1}{\\sqrt{2}}(\\vert 0\\rangle &#8211; \\vert 1\\rangle)<br \/>\n}<br \/>\n$$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hemos quedado en que el estado de un qubit necesita dos n\u00fameros complejos para representarse. Pero cada n\u00famero complejo tiene una parte real y otra imaginaria, por lo que en total tenemos cuatro valores reales para cada qubit. \u00bfSon imprescindibles todo? Parece que no, porque ya conocemos la condici\u00f3n de normalizaci\u00f3n: $\\alpha\\alpha^* +\\beta\\beta^*=1$. 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