{"id":817,"date":"2021-02-13T19:44:02","date_gmt":"2021-02-13T18:44:02","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=817"},"modified":"2022-04-21T17:10:39","modified_gmt":"2022-04-21T15:10:39","slug":"shave-and-a-haircut","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/02\/13\/shave-and-a-haircut\/","title":{"rendered":"Shave and a haircut"},"content":{"rendered":"

Vamos a generalizar<\/span> el concepto de estado cu\u00e1ntico y de transformaci\u00f3n unitaria a sistemas de m\u00e1s de un qubit. Este es el momento en que los libros entran en un peque\u00f1o berenjenal llamado producto tensorial<\/em>. Nosotros necesitaremos, por supuesto, saber c\u00f3mo funciona el producto tensorial, pero vamos a introducir el tema de forma gradual y, espero, m\u00e1s intuitiva. Comenzaremos con el estado de un sistema con s\u00f3lo dos qubits.<\/p>\n

Two qubits<\/h4>\n

Ya sabemos que el estado de un sistema de $N$ qubits es un vector complejo en $\\mathbb{C}^{2^N}$, con $2^N$ componentes. Un qubit tiene dos componentes, dos qubits, cuatro; tres qubits tienen ocho componentes y diez, mil veinticuatro. No hay nada sorprendente ni esot\u00e9rico en que aparezca una exponencial en nuestras cuentas. Diez bits cl\u00e1sicos tambi\u00e9n dan para representar hasta 1024 valores. Pero es cierto que diez qubits tienen infinitamente m\u00e1s estados internos que su contrapartida cl\u00e1sica, como veremos en breve.<\/p>\n

Esto tambi\u00e9n significa que la base vectorial de un sistema de $N$ qubits tiene $2^N$ vectores. En el caso de un qubit, ten\u00edamos una base con dos vectores, los ya familiares $\\vert0\\rangle$ y $\\vert1\\rangle$. Con dos qubits, vamos a tener una base de cuatro vectores, y vamos a denominarlos as\u00ed:<\/p>\n

$$\\vert00\\rangle, \\vert01\\rangle, \\vert10\\rangle, \\vert11\\rangle$$Cualquier estado del sistema de dos qubits, entonces, puede describirse como una combinaci\u00f3n lineal de estos cuatro vectores:<\/p>\n

$$\\vert\\psi\\rangle = c_{00}\\vert00\\rangle+c_{01}\\vert01\\rangle+c_{10}\\vert10\\rangle+c_{11}\\vert11\\rangle$$En notaci\u00f3n matricial, por ejemplo, el estado $\\vert00\\rangle$ se representar\u00eda:<\/p>\n

$$\\pmatrix{1\\cr 0\\cr 0\\cr 0}$$Como esta notaci\u00f3n consume mucho espacio vertical, a veces representaremos este vector mediante su transpuesta (no su transpuesta conjugada):<\/p>\n

$$\\pmatrix{1&0&0&0}^T$$Tenemos que tener cuidado en c\u00f3mo interpretamos la notaci\u00f3n matricial. Por ejemplo, el vector $\\vert11\\rangle$ corresponde a esta matriz:<\/p>\n

$$\\pmatrix{0\\cr 0\\cr 0\\cr 1}\\quad\\text{\u00f3}\\quad\\pmatrix{0&0&0&1}^T$$Para poder usar la notaci\u00f3n matricial es necesario acordar un orden en los vectores de la base. Lo que hemos hecho es utilizar impl\u00edcitamente el llamado orden lexicogr\u00e1fico<\/em> o de diccionario. El otro detalle a cuidar es el orden de los ceros y unos en vectores como $\\vert01\\rangle$ y $\\vert10\\rangle$. Nosotros siempre consideraremos que el primer qubit es el de m\u00e1s a la derecha.<\/p>\n

Una forma alternativa de escribir estos vectores de la base es dej\u00e1ndonos de pamplinas, y traduciendo las cadenas de bits a notaci\u00f3n decimal:<\/p>\n

$$\\vert0\\rangle, \\vert1\\rangle, \\vert2\\rangle, \\vert3\\rangle$$La desventaja de esta notaci\u00f3n es que hace falta tener muy claro el n\u00famero de qubits en el sistema. Por ejemplo, $\\vert3\\rangle$ podr\u00eda significar $\\vert11\\rangle$ en nuestro sistema de dos qubits, pero tambi\u00e9n $\\vert0011\\rangle$ en un ordenador de cuatro. En ocasiones, para evitar esta incertidumbre, escribiremos cosas como $\\vert3\\rangle_2$ o incluso $\\vert3\\rangle_N$, para dejar claro el n\u00famero de qubits del sistema.<\/p>\n

Potencias de dos<\/h4>\n

El n\u00famero $4$ es bastante enga\u00f1oso, porque $4 = 2+2 = 2\\times2 = 2^2$. \u00bfQu\u00e9 tama\u00f1o tiene el espacio de estado de un sistema, digamos, de cuatro qubits? El espacio vectorial subyacente es $\\mathbb{C}^{2^4}$, es decir, $\\mathbb{C}^{16}$, y la base vectorial tendr\u00e1 $16$ elementos:<\/p>\n

$$\\displaylines{\\vert0\\rangle, \\vert1\\rangle, \\vert2\\rangle, \\vert3\\rangle, \\vert4\\rangle, \\vert5\\rangle, \\vert6\\rangle, \\vert7\\rangle,\\cr
\n\\vert8\\rangle, \\vert9\\rangle, \\vert \\text{A}\\rangle, \\vert \\text{B}\\rangle, \\vert \\text{C}\\rangle, \\vert \\text{D}\\rangle, \\vert \\text{E}\\rangle, \\vert {F}\\rangle}$$Esta vez he abreviado el contenido de los kets usando la notaci\u00f3n hexadecimal, pero pod\u00eda haber usado igualmente notaci\u00f3n binaria o decimal, siempre que estuviese claro el contexto.<\/p>\n

Lo importante en este punto es tener claro que cualquier espacio de estados en un ordenador cu\u00e1ntico va a tener una base cuyo tama\u00f1o es una potencia de dos. Esto importa porque, al dise\u00f1ar algunos algoritmos como la Transformada Cu\u00e1ntica de Fourier, utilizaremos t\u00e9cnicas como \u201cdivide y vencer\u00e1s\u201d, que funcionan mejor cuando se trabaja sobre potencias de dos.<\/p>\n

La insoportable gravedad del ser<\/h4>\n

Imaginemos que hay que simular un ordenador cu\u00e1ntico mediante un ordenador cl\u00e1sico. Supongamos que queremos simular 100 qubits. \u00bfCu\u00e1n dif\u00edcil es? $2^{10}$ es $1.024$, pero $2^{100}$ es este monstruo:<\/p>\n

$$1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376$$O, en notaci\u00f3n cient\u00edfica decimal, 1,267E30. Ese es el n\u00famero de componentes complejos en un simple estado cu\u00e1ntico. Ahora bien, la programaci\u00f3n cu\u00e1ntica tiene una buena parte que consiste en multiplicar matrices o aplicar matrices a un estado cu\u00e1ntico. Calcule por su cuenta el tama\u00f1o de una matriz de transformaci\u00f3n para un estado cu\u00e1ntico como el descrito.<\/p>\n

Los ordenadores cu\u00e1nticos m\u00e1s grandes en estas fechas tienen unos 50 qubits. $2^{50}$ es aproximadamente un 1 seguido de 15 ceros. Un mega son seis ceros, el giga, nueve y el tera, doce. Necesitamos mil teras para representar el estado cu\u00e1ntico completo. Es decir, un peta.<\/p>\n

En la siguiente entrada, intentar\u00e9 justificar c\u00f3mo es posible este tipo de monstruosidades, y de paso, le presentar\u00e9 el formalismo de los productos tensoriales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vamos a generalizar el concepto de estado cu\u00e1ntico y de transformaci\u00f3n unitaria a sistemas de m\u00e1s de un qubit. Este es el momento en que los libros entran en un peque\u00f1o berenjenal llamado producto tensorial. Nosotros necesitaremos, por supuesto, saber c\u00f3mo funciona el producto tensorial, pero vamos a introducir el tema de forma gradual y, […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":819,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[33],"tags":[48,47,34,39,46],"class_list":["post-817","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-quantum","tag-basis","tag-petabyte","tag-quantum","tag-qubit","tag-tensor"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/lights.png?fit=350%2C350&ssl=1","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/817","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=817"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/817\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1454,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/817\/revisions\/1454"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/819"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=817"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=817"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=817"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}