{"id":836,"date":"2021-02-20T20:22:20","date_gmt":"2021-02-20T19:22:20","guid":{"rendered":"https:\/\/intsight.com\/?p=836"},"modified":"2024-03-12T14:39:02","modified_gmt":"2024-03-12T13:39:02","slug":"entrelazamiento","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/2021\/02\/20\/entrelazamiento\/","title":{"rendered":"Entrelazamiento"},"content":{"rendered":"

Son dos<\/span> los fen\u00f3menos que hacen de la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica una teor\u00eda extra\u00f1a: la superposici\u00f3n y el entrelazamiento. En ambos casos, la explicaci\u00f3n m\u00e1s sencilla consiste en mirar las matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Superposici\u00f3n<\/h4>\n

De los dos fen\u00f3menos, el m\u00e1s f\u00e1cil de entender es la superposici\u00f3n, porque es una consecuencia de la linealidad de la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger. Si un sistema puede estar en el estado $\\vert\\psi\\rangle$ y en el estado $\\vert\\phi\\rangle$, te\u00f3ricamente puede estar tambi\u00e9n en cualquier estado intermedio $\\alpha\\vert\\psi\\rangle + \\beta\\vert\\phi\\rangle$. Traducido al mundo de los ordenadores cu\u00e1nticos: un qubit no s\u00f3lo puede estar en el estado que nosotros interpretaremos como $0$ y en el estado $1$, sino que puede estar, aunque no lo \u00abveamos\u00bb directamente, en cualquier estado situado entre<\/em> esos dos valores. Por ejemplo, si le aplicamos la transformaci\u00f3n de Hadamard a un qubit que est\u00e1 en el estado inicial $\\vert0\\rangle$, obtenemos el estado mixto $\\frac{1}{\\sqrt{2}}(\\vert0\\rangle + \\vert1\\rangle)$.<\/p>\n

Si estamos, por el contrario, en un sistema de $N$ qubits, podemos aplicar una transformada de Hadamard a cada uno de los qubits, y obtendremos una superposici\u00f3n de todos<\/em> los enteros representables en esos qubits (esto lo veremos en breve). De manera que, si tengo $16$ qubits, puedo tener todos los n\u00fameros del $0$ al $65.535$ representados al mismo tiempo en esos registros. Lo mejor de todo: si le aplico una transformaci\u00f3n unitaria a esos $16$ qubits, voy a estar transformando al mismo tiempo los $65.536$ valores posibles, gracias a la linealidad de estas transformaciones. Todo en su momento…<\/p>\n

No obstante, lo que estoy diciendo es que matem\u00e1ticamente es f\u00e1cil comprender la superposici\u00f3n; no que sea f\u00e1cil darle un sentido f\u00edsico a la misma. La superposici\u00f3n es el origen de la famosa paradoja del Gato de Schr\u00f6dinger, que estaba tanto vivo como muerto hasta el momento en que decid\u00edamos realizar una medici\u00f3n.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Graduum libertatis<\/h4>\n

Para entender el problema del entrelazamiento, tenemos que comprender c\u00f3mo funcionan los grados de libertad en un sistema cu\u00e1ntico. Imaginemos una part\u00edcula puntual movi\u00e9ndose dentro de un mundo cl\u00e1sico en tres dimensiones. Un f\u00edsico describir\u00eda la part\u00edcula mediante dos vectores: la posici\u00f3n y el impulso de la misma, es decir, la velocidad multiplicada por la masa. Seis componentes.<\/p>\n

Ahora supongamos que nuestro universo tiene dos part\u00edculas. El f\u00edsico cl\u00e1sico utilizar\u00eda entonces cuatro vectores: dos por cada part\u00edcula. En total, doce componentes. Lo que hemos hecho es concatenar dos espacios vectoriales de seis dimensiones. El mundo cl\u00e1sico es as\u00ed de \u00absencillo\u00bb.<\/p>\n

$$\\mathbb{R}^6 \\oplus \\mathbb{R}^6 = \\mathbb{R}^{12}$$<\/p>\n

Pero eso no es lo que hemos hecho al pasar de uno a dos qubits… o mejor, a tres qubits, para evitar confusiones. El estado cu\u00e1ntico de un qubit es $\\mathbb{C}^2$, o un espacio proyectivo dentro de \u00e9ste, si nos ponemos exquisitos. Sin embargo, hemos visto que el estado de dos qubits es $\\mathbb{C}^4$, y el de tres qubits, $\\mathbb{C}^8$. Aqu\u00ed no estamos usando la concatenaci\u00f3n de espacios vectoriales, sino el (\u00a1ta-dah!) producto tensorial<\/em> de estos espacios:<\/p>\n

$$\\mathbb{C}^2 \\otimes \\mathbb{C}^2 \\otimes \\mathbb{C}^2 = \\mathbb{C}^8$$<\/p>\n

Es hora de ponernos serios y explicar qu\u00e9 es eso del…<\/p>\n

Producto tensorial de espacios<\/h4>\n

El producto tensorial de dos espacios vectoriales es un tonter\u00eda, cr\u00e9ame. Supongamos que tenemos un espacio vectorial arbitrario (no necesariamente cu\u00e1ntico) de dimensi\u00f3n $n_1$, con una correspondiente base formada por $n$ vectores, a los que vamos a llamar $e_1, e_2 \\cdots e_{n1}$. Ahora vamos a elegir un segundo espacio vectorial… qu\u00e9 narices… voy a multiplicar el espacio consigo mismo, para no tener que inventarme una segunda base. El espacio original se llamaba (se me hab\u00eda olvidado), $V$. No es muy original, pero nos valdr\u00e1. Y queremos ver c\u00f3mo se define el espacio $V \\otimes V$.<\/p>\n

La idea es definir la base del nuevo espacio como todos los pares posibles de vectores $e_i \\otimes e_j$, tal que:<\/p>\n

$$i \\neq j \\rightarrow e_i \\otimes e_j \\neq e_j \\otimes e_i$$<\/p>\n

Si el espacio original ten\u00eda $n_1$ dimensiones, el espacio producto tiene $n_1 \\times n_1$ dimensiones o componentes. Es exactamente lo mismo que vimos en la entrada anterior<\/a>, pero ahora le ponemos un nombre bonito y una definici\u00f3n m\u00e1s o menos formal.<\/p>\n

Nuestro espacio de un qubit ten\u00eda dos vectores en la base: $\\vert0\\rangle$ y $\\vert1\\rangle$. Por lo tanto, la base de un espacio de dos qubits es la siguiente:<\/p>\n

$$\\eqalign{
\n\\vert0\\rangle \\otimes \\vert0\\rangle &\\equiv \\vert0\\rangle\\vert0\\rangle \\equiv \\vert00\\rangle \\cr
\n\\vert0\\rangle \\otimes \\vert1\\rangle &\\equiv \\vert0\\rangle\\vert1\\rangle \\equiv \\vert01\\rangle \\cr
\n\\vert1\\rangle \\otimes \\vert0\\rangle &\\equiv \\vert1\\rangle\\vert0\\rangle \\equiv \\vert10\\rangle \\cr
\n\\vert1\\rangle \\otimes \\vert1\\rangle &\\equiv \\vert1\\rangle\\vert1\\rangle \\equiv \\vert11\\rangle}$$<\/p>\n

Es decir: lo mismo que ocurr\u00eda en la entrada anterior, pero ahora tenemos otras dos maneras equivalentes de escribir los vectores de la base.<\/p>\n

Toda esta pedanter\u00eda formal, aclaro, es necesaria para lo que viene a continuaci\u00f3n.<\/p>\n

Producto tensorial de vectores<\/h4>\n

Al definir el producto tensorial de dos \u00abespacios\u00bb vectoriales, impl\u00edcitamente definimos tambi\u00e9n un producto tensorial entre vectores de las bases. Podemos definir un producto tensorial entre \u00abvectores\u00bb, en vez de espacios, si complementamos el producto tensorial de las bases con el requisito adicional de linealidad. Es decir:<\/p>\n

$$\\displaylines{(a\\vert\\phi\\rangle + b\\vert\\psi\\rangle) \\otimes (c\\vert\\phi\\rangle + d\\vert\\psi\\rangle) \\equiv\\cr
\n\\quad ac\\vert\\phi\\rangle\\vert\\phi\\rangle + ad\\vert\\phi\\rangle\\vert\\psi\\rangle + bc\\vert\\psi\\rangle\\vert\\phi\\rangle + bd\\vert\\psi\\rangle\\vert\\psi\\rangle}
\n$$Recuerde que $\\vert\\phi\\rangle\\vert\\psi\\rangle$ es simplemente una abreviatura de $\\vert\\phi\\rangle\\otimes\\vert\\psi\\rangle$. Por poner un ejemplo, si multiplicamos uno de los vectores de la base computacional por uno de la base de Hadamard, obtendr\u00edamos:<\/p>\n

$$\\vert0\\rangle \\otimes \\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert0\\rangle + \\vert1\\rangle) =\\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle + \\vert01\\rangle)
\n$$Esta operaci\u00f3n, en particular, nos permite obtener un vector combinado en el espacio de dos qubits a partir de dos estados independientes en el espacio de un solo qubit.<\/p>\n

Ahora s\u00ed: entrelazamiento<\/h4>\n

Supongamos que estamos trabajando con tres qubits:<\/p>\n

$$\\mathbb{C}^2 \\otimes \\mathbb{C}^2 \\otimes \\mathbb{C}^2 = \\mathbb{C}^8$$<\/p>\n

\u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros complejos, a bote pronto, necesitamos para representar un estado de este espacio? Si ignoramos la existencia de la equivalencia de fase y el convenio de normalizaci\u00f3n, necesitaremos ocho<\/strong> n\u00fameros complejos. Si tenemos en cuenta que el espacio de estados es realmente un estado proyectivo, en realidad necesitamos siete<\/strong> n\u00fameros complejos.<\/p>\n

Podemos definir algunos estados en $\\mathbb{C}^8$ componiendo tensorialmente estados independientes de un qubit. La gran pregunta que tenemos que hacernos es: \u00bfnos basta esta composici\u00f3n de vectores independientes para generar todos los elementos de $\\mathbb{C}^8$? La respuesta es un rotundo no<\/strong>.<\/p>\n

Un estado de un qubit se representa mediante dos valores reales o, alternativamente, un valor complejo. Incluso si ignoramos las equivalencias de fase y la normalizaci\u00f3n, hay s\u00f3lo dos complejos en cada qubit. Tres qubits, explicados independientemente, nos dan un total bruto de seis<\/strong> valores complejos, que en neto son realmente tres<\/strong> complejos. Ni de broma alcanzamos a cubrir todas las descripciones basadas en siete<\/strong> n\u00fameros complejos que hacen falta para tres qubits. Lo podemos enmarcar en un cuadro y colgarlo en la pared de la oficina:<\/p>\n

Hay m\u00e1s estados en un sistema de $N$ qubits que los que se pueden describir especificando estados independientes para cada qubit.<\/p><\/blockquote>\n

He empezado con el caso de los tres qubits para evitar confusi\u00f3n debida a que $2^2=2+2$. Pero cuando hay dos qubits ocurre lo mismo: tratados independientemente, necesitamos cuatro valores reales, o dos complejos. Tratados en conjunto, necesitamos tres complejos o seis reales.<\/p>\n

Si este razonamiento top-down<\/em> no le convence, probemos uno bottom-up<\/em>. Consideremos este estado de dos qubits:<\/p>\n

$$\\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle+\\vert11\\rangle)$$Le reto a encontrar dos estados de un qubit que, multiplicados tensorialmente, den lugar a este estado de dos qubits. Veamos la definici\u00f3n de producto tensorial de vectores:<\/p>\n

$$\\displaylines{(a\\vert0\\rangle + b\\vert1\\rangle) \\otimes (c\\vert0\\rangle + d\\vert1\\rangle) \\equiv\\cr
\n\\quad ac\\vert00\\rangle + ad\\vert01\\rangle + bc\\vert10\\rangle + bd\\vert11\\rangle}
\n$$Si queremos que se anulen los estados $01$ y $10$, necesitamos que $ad=bc=0$. Pero cualquier combinaci\u00f3n que consiga esto, tambi\u00e9n conseguir\u00e1 que se anulen los otros dos t\u00e9rminos. La conclusi\u00f3n: no podemos explicar este estado descomponi\u00e9ndolo en qubits independientes.<\/p>\n

Medici\u00f3n entrelazada<\/h4>\n

\u00bfQu\u00e9 ocurre si realizamos una medici\u00f3n sobre un estado entrelazado como $\\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle+\\vert11\\rangle)$? Tenemos una combinaci\u00f3n lineal de dos de los cuatro vectores propios, o eigenvectors, del espacio de estados. Por lo tanto, la medici\u00f3n no ser\u00e1 determinista. Podemos obtener tanto el estado $\\vert00\\rangle$ como $\\vert11\\rangle$, y la probabilidad de obtener cualquiera de ellos es la misma.<\/p>\n

Lo interesante es que, si obtenemos un $1$ en el primer qubit, no necesitamos mirar el contenido del segundo qubit: por fuerza, tiene que ser otro $1$. Lo mismo ocurre si recibimos un $0$ en uno de los qubits: el otro tendr\u00e1 el mismo valor. Si estamos pensando en un ordenador cu\u00e1ntico, en el que los qubits est\u00e1n muy cercanos f\u00edsicamente, esto puede que no nos sorprenda. Pero nadie ha dicho que los qubits tengan que estar uno al lado del otro. Uno de ellos puede estar en la Tierra y el otro en el planeta Raticul\u00edn.<\/p>\n

Esta es una variante m\u00e1s o menos abstracta de la famosa paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen, o paradoja EPR<\/a>.<\/p>\n

Dependencia de la base<\/h4>\n

\u00bfHay algo intr\u00ednseco en un estado cu\u00e1ntico dado que nos permita asegurar que es un estado superpuesto o entrelazado? Resulta que no: tanto la superposici\u00f3n como el entrelazamiento son fen\u00f3menos que dependen de la elecci\u00f3n de una base. Por ejemplo, el estado $\\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle+\\vert11\\rangle)$ es un estado entrelazado para mediciones en la base computacional. Pero si vamos a realizar la medici\u00f3n en la llamada base de Bell, para sistemas de dos qubits, el estado anterior es un \u00abestado puro\u00bb. El truco est\u00e1 en que la base de Bell se define de esta manera:<\/p>\n

$$\\eqalign{
\n\\vert\\Phi^{+}\\rangle =& \\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle+\\vert11\\rangle) \\cr
\n\\vert\\Phi^{-}\\rangle =& \\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert00\\rangle-\\vert11\\rangle) \\cr
\n\\vert\\Psi^{+}\\rangle =& \\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert01\\rangle+\\vert10\\rangle) \\cr
\n\\vert\\Psi^{-}\\rangle =& \\frac{1}{\\sqrt 2}(\\vert01\\rangle-\\vert10\\rangle)
\n}$$No obstante, en la base de Bell tambi\u00e9n habr\u00e1 estados entrelazados. En realidad, volveremos a tener m\u00e1s estados entrelazados que estados descomponibles.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Son dos los fen\u00f3menos que hacen de la Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica una teor\u00eda extra\u00f1a: la superposici\u00f3n y el entrelazamiento. En ambos casos, la explicaci\u00f3n m\u00e1s sencilla consiste en mirar las matem\u00e1ticas. Superposici\u00f3n De los dos fen\u00f3menos, el m\u00e1s f\u00e1cil de entender es la superposici\u00f3n, porque es una consecuencia de la linealidad de la ecuaci\u00f3n de Schr\u00f6dinger. […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":862,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[33],"tags":[49,34,50,46],"class_list":["post-836","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-quantum","tag-entanglement","tag-quantum","tag-superposition","tag-tensor"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/intsight.com\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/entangled.png?fit=350%2C350&ssl=1","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=836"}],"version-history":[{"count":74,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1712,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/836\/revisions\/1712"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/862"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=836"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=836"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/intsight.com\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=836"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}