La polarización de la luz

En mi opinión, esta es la entrada más importante para entender lo necesario antes de pasar ya a la Computación Cuántica. Por favor, cualquier duda, como ya he dicho, pasádmela en los comentarios o directamente a mi email. Aquí vamos a mostrar un experimento en el que veremos:

• El estado cuántico de un sistema físico muy sencillo, similar en muchas cosas a cómo funciona un qubit.
• Un «aparato de medición» que implementa un observable cuántico.
• Cómo la elección de una base depende del aparato de medición y su configuración.
• Qué ocurre cuando se repite una medición.
• La regla de Born en acción.

El «experimento», en sí, está grabado en el siguiente vídeo. No he narrado el vídeo, para no alargarlo innecesariamente. Todas las explicaciones van el texto que sigue a continuación:

Nuestro estado cuántico

Para el experimento, he utilizado una lámpara de sal rosa del Himalaya. Bueno, eso es lo que cree mi mujer. Yo creo que está hecha de caca de yeti. Entre los yetis y los yaks, tienen todas las cumbres del Himalaya cubiertas de estiércol. Hay incluso un país, Bután, que se ha hecho famoso por sus exportaciones de… adivine… ¡butano!, que se produce al fermentar todo este jaleo. De hecho, los butaneros españoles visten uniforme naranja en homenaje a los monjes budistas del Bután.

En realidad, la lámpara del yeti no tiene nada de especial. Podíamos haber usado casi cualquier fuente de luz natural. Pero en Madrid hacía mal tiempo, y he querido asegurarme de tener suficiente luz para la prueba. Lo importante es que parte del estado de cada fotón es una dirección espacial a la que llamamos polarización. En la época pre-cuántica, esto se explicaba postulando que la luz era una vibración transversal, como la de una cuerda de violín, y la polarización se entendía como la dirección transversal en la que vibraba la cuerda. No era una interpretación gratuita: según las ecuaciones de Maxwell, efectivamente, la luz se propaga como oscilaciones transversales de los campos eléctricos y magnéticos, con la propiedad adicional de que estos dos campos oscilan formando un ángulo de 90º.

Los fotones que salen del Sol y de la lámpara de caca de yeti no tienen una polarización preferente. Cada fotón, individualmente, puede estar oscilando en cualquier dirección transversal a su línea de propagación. Hay que tener presente que una dirección y la dirección opuesta en 180º actúan de la misma manera si sólo tenemos en cuenta la polarización. Existe otra variable en el estado cuántico, que es la fase, que ignoraremos en este experimento.

El filtro polarizador

Un filtro polarizador es una lámina semitransparente que deja pasar solamente los fotones que oscilan en una dirección determinada (o en la dirección opuesta). Al menos, esta es la interpretación clásica, que tendremos que refinar un poco para tener en cuenta los fenómenos puramente cuánticos. Por ejemplo:

• El filtro actúa fotón a fotón, no colectivamente.
• Supongamos que el filtro está orientado verticalmente. Si le llega un fotón orientado a 0º (respecto a la dirección vertical), el fotón pasa. Si llega un fotón polarizado a 90º, el fotón no pasa ni sobornando al portero.
• ¿Qué pasa, sin embargo, cuando el fotón está «polarizado a 45º»?

Tenemos que empezar a pensar cuánticamente para obtener la respuesta correcta. El filtro es un aparato de medición, y como tal, define un operador autoadjunto sobre el estado cuántico. Eso significa que el filtro induce una base vectorial en $\mathbb{C}^2$ formada por dos vectores. Vamos a llamar a esos dos vectores $\vert\uparrow\rangle$ y $\vert\rightarrow\rangle$. Entonces, podemos encontrar fotones en cada uno de estos casos, entre muchos otros:
$$
\eqalign{
\vert\uparrow\rangle&\quad 0º\cr
\vert\rightarrow\rangle&\quad 90º\cr
\frac{1}{\sqrt{2}}\vert\uparrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\vert\rightarrow\rangle&\quad45º
}$$Cuando el filtro está orientado verticalmente, los fotones con estado $\vert\uparrow\rangle$ pasan sin problemas, y los que están en estado $\vert\rightarrow\rangle$ se bloquean. Si un fotón está polarizado en 45º, la Naturaleza, o Azatoth, o quien usted prefiera, tira una moneda y lo deja pasar con una posibilidad de $\frac{1}{2}$. Si el estado es más complicado, como en este caso:
$$
\alpha\vert\uparrow\rangle + \beta\vert\rightarrow\rangle
$$el fotón pasará con una probabilidad igual a:
$$
\frac{\alpha^2}{\alpha^2 + \beta^2}
$$Y si nos dan el estado con $\alpha$ y $\beta$ normalizados, la posibilidad de que el fotón supere la prueba es, simplemente, $\alpha^2$.

Esto se repite fotón por fotón. Si la distribución de las polarizaciones es uniforme, podemos hacer el cálculo exacto de cuál es la esperanza $\mathbb{E}$ del porcentaje de fotones que supera el filtro. No he hecho el cálculo: os lo dejo como ejercicio. En cualquier caso, el efecto será que la luz se atenúa un poco al pasar por el filtro, porque una parte de los fotones no sobreviven a la prueba. En el vídeo, hago rotar la orientación del filtro para que veáis que da igual la orientación de este primer filtro. Cada ángulo de rotación implica una base diferente para el estado cuántico, pero al final, el número de fotones que pasan es el mismo.

Colapso

El filtro polarizador colapsa el estado cuántico inicial.

A los físicos no les gusta la frase anterior, por lo general, pero es la mejor forma que conozco de explicar cómo funciona la medición en un sistema cuántico. Todos los coeficientes $\beta$ de los fotones desaparecen, porque todos los fotones que pasan el filtro se quedan en el estado $\vert\uparrow\rangle$. No solamente eso, sino que cualquier información codificada en la distribución previa de los estados de polarización desaparece tras aplicar el filtro. Todos los fotones que forman el rayo de salida del filtro están alineados verticalmente (respecto a la orientación del filtro), como buenos soldaditos.

Un segundo filtro

Para comprobar la afirmación anterior, vamos a introducir un segundo filtro en el experimento. En el vídeo, hago girar el segundo filtro respecto al primero. Cuando los dos filtros están alineados, el vector propio favorecido por el segundo filtro es idéntico al primero. ¡Y todos los fotones que salen del primero ya están alineados en esa dirección! O dicho equivalentemente: están en el estado cuántico apropiado. Por supuesto, no se nota que hay un segundo filtro.

Pero si roto el segundo filtro noventa grados, la luz se bloquea. ¿Por qué? Pues porque en la base de vectores propios inducida por el segundo filtro, todos los fotones del primer filtro están en el estado $\vert\rightarrow^\prime\rangle$. Es decir, están todos los fotones en el estado desafortunado.

Observad que he puesto un acento $\prime$ tras la flecha horizontal del estado. Esto es porque tenemos dos bases vectoriales: la del primer filtro y la del segundo. Si uso la misma notación para las dos bases, nos vamos a confundir. Con este convenio, $\vert\uparrow\rangle$ es el primer vector de la base del primer filtro, y $\vert\uparrow^\prime\rangle$ es el primer vector de la base del segundo. Y así sucesivamente.

Por supuesto, si el ángulo relativo de rotación entre los filtros es cualquier otro valor intermedio, vamos a conseguir que la luz se atenúe, sin bloquearse completamente. No hay nada paradójico ni (creo) difícil de comprender en el experimento con hasta dos filtros. De momento, dejamos los dos filtros cruzados, para que bloqueen toda la luz de la lámpara de caca de yeti.

Más filtros, más luz

La paradoja aparece cuando introducimos un tercer filtro en el montaje. Si ponemos el tercer filtro antes o después de los dos primeros, seguimos bloqueando completamente la luz. Pero si rotamos el tercer filtro en un ángulo de 45º y lo introducimos entre los dos filtros originales, ¡sorpresa!, la luz vuelve a pasar.
Veamos la secuencia de pasos por la que un fotón puede sobrevivir a los tres filtros:

1. Un alegre e ingenuo fotón con estado $\alpha\vert\uparrow\rangle + \beta\vert\rightarrow\rangle$ se acerca al primer filtro. Voy a asumir que el estado está normalizado, por simplicidad.
2. El primer filtro deja pasar a este fotón, con probabilidad $\alpha^2$ y colapsa su función de onda, machacando su $\beta$. El fotón ha sobrevivido, al precio de quedarse más tieso que un perchero. Su estado es ahora $\vert\uparrow\rangle$.
3. El fotón llega al filtro del medio, que está girado 45º. ¿Cree usted que al filtro intermedio le importa que el fotón venga orientado a lo largo de un vector propio del primer filtro? ¡Ni hablar! El filtro del medio va a ver al fotón en un estado bastardo $\frac{1}{\sqrt{2}}\vert\uparrow^\prime\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\vert\rightarrow^\prime\rangle$. Observad los acentos: estamos hablando de la base del filtro del medio, que es diferente a la primera base.
4. Por lo tanto, nuestro vapuleado fotón tiene la mitad de las papeletas para sobrevivir a su segundo encontronazo. Supongamos que sobrevive. Repita conmigo ahora: el precio que va a pagar es quedarse en el estado $\vert\uparrow^\prime\rangle$.
5. Y esto empieza a sonar repetitivo. Nos acercamos al tercer filtro, que está rotado otros 45º. Nuestro disciplinado fotón, que ya estuvo mirando hacia el Polo Norte, viene ahora mirando hacia Cuenca, pero al tercer filtro se la trae al pairo. Para el último filtro, el fotón está en el estado $\frac{1}{\sqrt{2}}\vert\uparrow^{\prime\prime}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\vert\rightarrow^{\prime\prime}\rangle$. Hay dos acentos ahora en los vectores de la base. Por supuesto, el fotón tiene una probabilidad de $0.5$ de sobrevivir. La mitad caerá en combate, pero una parte pasará la última prueba. Y se hará la luz.

Y ya se me han acabado los filtros, lo prometo.