Categorías
Quantum

Mediciones

Con esta entrada puedo ganarme la enemistad de algún físico fanático. En cuanto alguno lea la frase «colapso de la función de onda» sufrirá un ataque de epilepsia. Esto tiene que ver con las interpretaciones filosóficas de la mecánica cuántica, de las que hay muchas. Por fortuna, no hay ambigüedad la forma de realizar cálculos. Y por suerte para nosotros, en Computación Cuántica tendremos que lidiar casi siempre con un único observable. Siento mucho inundarle con más contenido que el estrictamente necesario, pero mi teoría es que en conocimientos, más es siempre más.

Dos principios

En la entrada anterior presenté tres axiomas. Ahora nos toca ver dos principios adicionales.

  • La aplicación de operador observable a un sistema cuántico provoca un colapso del estado a uno de los vectores propios (eigenvectors) de dicho operador.
  • La probabilidad de que un vector propio concreto sea el elegido depende de la magnitud al cuadrado de su amplitud asociada en el estado cuántico anterior a la observación. Este principio se conoce como «regla de Born».

Estos dos principios se tratan por separado por estar asociados a un proceso físico diferente del de los axiomas. La visión del mundo (o Weltanschauung, porque me gusta el palabro alemán) que se infiere de los tres axiomas es muy diferente a la que surge de estos dos nuevos principios. En el mundo de los tres axiomas, el estado cuántico evoluciona de forma determinista y reversible. No hay nada probabilístico en la ecuación de Schrödinger. A este modelo se le conoce como «evolución unitaria», por razones que veremos más adelante.

En cambio, los dos nuevos principios corresponden al proceso conocido como medición. Se trata de un proceso irreversible y probabilístico, en el que se pierde buena parte de la información existente en la función de onda anterior a la medición.

La mayoría de los físicos creen (en el sentido de creer en los dioses del Olimpo o en Nyarlathotep) que el proceso de medición y la regla de Born podrían derivarse de los tres axiomas. Nadie ha podido demostrarlo, de momento. En el otro bando, hay quienes creen que hace falta ampliar la ecuación de Schrödinger, o que el colapso tiene que ver con discordancias en el espaciotiempo, y que hace falta una teoría cuántica de la gravitación para explicar esta parte. Personalmente, no me parece descabellado. Al fin y al cabo, la gravedad destruye información en los agujeros negros (nadie ha observado experimentalmente la radiación de Hawking). En cualquier caso, mi opinión sobre estos temas es la de un absoluto profano.

El estado como superposición

Vamos a ocuparnos del primer principio. Recordemos que, de acuerdo a los axiomas, un «observable» es un operador auto-adjunto que actúa sobre los vectores de un espacio vectorial complejo. Exigimos que sea auto-adjunto, además, para que sus valores propios sean números reales.

Para simplificar, usaré como ejemplo el sistema más simple: un ordenador cuántico con sólo 1 qubit. El estado cuántico, en este caso, es un vector complejo en $\mathbb{C}^2$. Es decir, el estado se describe mediante dos números complejos:
$$
\alpha\hat e_1 + \beta\hat e_2
$$La clave, en este punto, es averiguar qué son esos $\hat e_1$ y $\hat e_2$ que han aparecido de la nada. Son dos vectores unitarios (longitud igual a uno) que definen una «base» en el espacio vectorial. ¿Cuál base, en concreto? Necesitamos algo más de información para poder dar respuesta a esta pregunta…

La respuesta consiste en que este ordenador de un qubit debe ofrecer un «operador observable», cuya implementación exacta es cosa del hardware. Lo que nos importa es que ese operador va a definir implícitamente una base formada por sus vectores propios. ¿Cuántos vectores propios tiene un operador auto-adjunto en $\mathbb{C}^2$? Tiene dos, por supuesto: es un espacio de dos dimensiones, ¿no?. Podemos seguir llamándolos $\hat e_1$ y $\hat e_2$… o podemos ser más prácticos y llamarlos $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$. Con esto, ya podemos afinar un poco más la definición del estado cuántico del qubit. Siempre podrá describirse como una combinación lineal de estos dos vectores o estados especiales:
$$
\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle
$$La base formada por los vectores $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ se conoce como base computacional o, en inglés, computational basis. Al observable cuyo operador tiene esta base como vectores propios, voy a llamarlo, por motivos que desvelaremos a su debido tiempo, $M_z$.

La Regla de Born

Vamos a darle valores concretos a $\alpha$ y $\beta$. Supongamos que el estado del qubit es el siguiente:
$$
\vert 0\rangle + \vert 1\rangle
$$La regla de Born nos dice que, si aplicamos la medición $M_z$ a este estado, obtendremos como resultado el vector $\vert 0\rangle$ en la mitad de los experimentos, y $\vert 1\rangle$ en la otra mitad de las veces. Supongamos, por el contrario, que el estado es:
$$
3\vert 0\rangle + 4\vert 1\rangle
$$En este caso, obtendremos $\vert 0\rangle$ con una probabilidad de $\frac{9}{25}$, esto es, un 36% de los casos. Y obtendremos $\vert 1\rangle$ con una probabilidad de $\frac{16}{25}$, que es el 64%.

¿Y si el estado inicial es directamente $\vert 0\rangle$? Pues en este caso, siempre saldrá $\vert 0\rangle$ como resultado. En general, si el estado cuántico es éste:
$$
\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle
$$la probabilidad de que obtengamos $\vert 0\rangle$ es
$$
\frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2}
$$y la probabilidad de que salga $\vert 1\rangle$ es la complementaria.

Normalización

Un médico no debe hacer daño, y un escritor técnico nunca debe confundir al lector. A quienes ya conocen algo de Mecánica Cuántica les extrañará que haya puesto el siguiente estado como ejemplo:
$$
\vert 0\rangle + \vert 1\rangle
$$¿Por qué? Pues porque los estados suelen representarse de manera que su longitud sea la unidad: $\vert\vert\psi\vert\vert =1$. Se trata de un convenio, simplemente. El estado anterior normalmente se escribe así:
$$
\frac{1}{\sqrt 2}\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}\vert 1\rangle
$$En general, como convenio se pide lo siguiente:
$$
\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\quad\alpha\alpha^* + \beta\beta^* = 1
$$Como $\alpha$ y $\beta$ son números complejos, hemos tenido que multiplicarlos por sus respectivos conjugados. La diferencia entre normalizar los estados y no normalizarlos consiste en que, si no los normalizamos, tendremos que hacer malabares con la norma del estado en algunas fórmulas. Por lo tanto, de ahora en adelante, el estado que representábamos como $3\vert 0\rangle + 4\vert 1\rangle$ lo escribiremos como $0.6\vert 0\rangle + 0.8\vert 1\rangle$ para evitar problemas.

En una exposición más rigurosa de la Mecánica Cuántica tendríamos que haber empezado diciendo que el estado cuántico se representa mediante un «rayo» en $\mathbb{C}^n$. O más oscuramente, que es un elemento de un espacio proyectivo de $\mathbb{C}^n$. Chino mandarín, vamos, pero ya sabemos qué es lo que quieren decir.

Una respuesta a «Mediciones»

Responder a La esfera de Bloch – Quantum Insights Cancelar respuesta