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Shave and a haircut

Vamos a generalizar el concepto de estado cuántico y de transformación unitaria a sistemas de más de un qubit. Este es el momento en que los libros entran en un pequeño berenjenal llamado producto tensorial. Nosotros necesitaremos, por supuesto, saber cómo funciona el producto tensorial, pero vamos a introducir el tema de forma gradual y, espero, más intuitiva. Comenzaremos con el estado de un sistema con sólo dos qubits.

Two qubits

Ya sabemos que el estado de un sistema de $N$ qubits es un vector complejo en $\mathbb{C}^{2^N}$, con $2^N$ componentes. Un qubit tiene dos componentes, dos qubits, cuatro; tres qubits tienen ocho componentes y diez, mil veinticuatro. No hay nada sorprendente ni esotérico en que aparezca una exponencial en nuestras cuentas. Diez bits clásicos también dan para representar hasta 1024 valores. Pero es cierto que diez qubits tienen infinitamente más estados internos que su contrapartida clásica, como veremos en breve.

Esto también significa que la base vectorial de un sistema de $N$ qubits tiene $2^N$ vectores. En el caso de un qubit, teníamos una base con dos vectores, los ya familiares $\vert0\rangle$ y $\vert1\rangle$. Con dos qubits, vamos a tener una base de cuatro vectores, y vamos a denominarlos así:

$$\vert00\rangle, \vert01\rangle, \vert10\rangle, \vert11\rangle$$Cualquier estado del sistema de dos qubits, entonces, puede describirse como una combinación lineal de estos cuatro vectores:

$$\vert\psi\rangle = c_{00}\vert00\rangle+c_{01}\vert01\rangle+c_{10}\vert10\rangle+c_{11}\vert11\rangle$$En notación matricial, por ejemplo, el estado $\vert00\rangle$ se representaría:

$$\pmatrix{1\cr 0\cr 0\cr 0}$$Como esta notación consume mucho espacio vertical, a veces representaremos este vector mediante su transpuesta (no su transpuesta conjugada):

$$\pmatrix{1&0&0&0}^T$$Tenemos que tener cuidado en cómo interpretamos la notación matricial. Por ejemplo, el vector $\vert11\rangle$ corresponde a esta matriz:

$$\pmatrix{0\cr 0\cr 0\cr 1}\quad\text{ó}\quad\pmatrix{0&0&0&1}^T$$Para poder usar la notación matricial es necesario acordar un orden en los vectores de la base. Lo que hemos hecho es utilizar implícitamente el llamado orden lexicográfico o de diccionario. El otro detalle a cuidar es el orden de los ceros y unos en vectores como $\vert01\rangle$ y $\vert10\rangle$. Nosotros siempre consideraremos que el primer qubit es el de más a la derecha.

Una forma alternativa de escribir estos vectores de la base es dejándonos de pamplinas, y traduciendo las cadenas de bits a notación decimal:

$$\vert0\rangle, \vert1\rangle, \vert2\rangle, \vert3\rangle$$La desventaja de esta notación es que hace falta tener muy claro el número de qubits en el sistema. Por ejemplo, $\vert3\rangle$ podría significar $\vert11\rangle$ en nuestro sistema de dos qubits, pero también $\vert0011\rangle$ en un ordenador de cuatro. En ocasiones, para evitar esta incertidumbre, escribiremos cosas como $\vert3\rangle_2$ o incluso $\vert3\rangle_N$, para dejar claro el número de qubits del sistema.

Potencias de dos

El número $4$ es bastante engañoso, porque $4 = 2+2 = 2\times2 = 2^2$. ¿Qué tamaño tiene el espacio de estado de un sistema, digamos, de cuatro qubits? El espacio vectorial subyacente es $\mathbb{C}^{2^4}$, es decir, $\mathbb{C}^{16}$, y la base vectorial tendrá $16$ elementos:

$$\displaylines{\vert0\rangle, \vert1\rangle, \vert2\rangle, \vert3\rangle, \vert4\rangle, \vert5\rangle, \vert6\rangle, \vert7\rangle,\cr
\vert8\rangle, \vert9\rangle, \vert \text{A}\rangle, \vert \text{B}\rangle, \vert \text{C}\rangle, \vert \text{D}\rangle, \vert \text{E}\rangle, \vert {F}\rangle}$$Esta vez he abreviado el contenido de los kets usando la notación hexadecimal, pero podía haber usado igualmente notación binaria o decimal, siempre que estuviese claro el contexto.

Lo importante en este punto es tener claro que cualquier espacio de estados en un ordenador cuántico va a tener una base cuyo tamaño es una potencia de dos. Esto importa porque, al diseñar algunos algoritmos como la Transformada Cuántica de Fourier, utilizaremos técnicas como “divide y vencerás”, que funcionan mejor cuando se trabaja sobre potencias de dos.

La insoportable gravedad del ser

Imaginemos que hay que simular un ordenador cuántico mediante un ordenador clásico. Supongamos que queremos simular 100 qubits. ¿Cuán difícil es? $2^{10}$ es $1.024$, pero $2^{100}$ es este monstruo:

$$1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376$$O, en notación científica decimal, 1,267E30. Ese es el número de componentes complejos en un simple estado cuántico. Ahora bien, la programación cuántica tiene una buena parte que consiste en multiplicar matrices o aplicar matrices a un estado cuántico. Calcule por su cuenta el tamaño de una matriz de transformación para un estado cuántico como el descrito.

Los ordenadores cuánticos más grandes en estas fechas tienen unos 50 qubits. $2^{50}$ es aproximadamente un 1 seguido de 15 ceros. Un mega son seis ceros, el giga, nueve y el tera, doce. Necesitamos mil teras para representar el estado cuántico completo. Es decir, un peta.

En la siguiente entrada, intentaré justificar cómo es posible este tipo de monstruosidades, y de paso, le presentaré el formalismo de los productos tensoriales.

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La esfera de Bloch

Hemos quedado en que el estado de un qubit necesita dos números complejos para representarse. Pero cada número complejo tiene una parte real y otra imaginaria, por lo que en total tenemos cuatro valores reales para cada qubit. ¿Son imprescindibles todo? Parece que no, porque ya conocemos la condición de normalización: $\alpha\alpha^* +\beta\beta^*=1$. Con esta condición, podríamos utilizar solamente tres valores reales, y deducir el cuarto a partir de la normalización.

Equivalencia de fase

En realidad, el estado de un qubit aislado puede representarse con solamente dos números reales. Insisto:

  • El estado de un qubit aislado puede representarse con dos números reales.

Pongo el énfasis en el aislamiento del qubit: cuando tengamos sistemas de más de un qubit, tendremos que volver a la representación con tres valores reales, por culpa del entrelazamiento. Pero en lo que sigue, asumiremos que estamos tratando con un solo qubit suficientemente aislado del resto del universo.

¿De dónde sale la redundancia adicional? Pues del mismo hecho de que estamos tratando en realidad con lo que los matemáticos llaman un espacio proyectivo. A la Naturaleza no le interesan los vectores complejos individuales, sino clases de equivalencia dentro de ese espacio vectorial. Una de esas clases de equivalencia viene dada por la posibilidad de multiplicar un vector complejo por una «fase global». La fase recibe ese nombre de la representación de un número complejo en coordenadas polares:
$$x + iy \equiv \rho\cos\theta + i\rho\sin\theta
$$Haciendo uso de la fórmula de Euler, podemos simplificar la identidad anterior de esta manera:
$$x + iy \equiv \rho e^{i\theta}
$$Al radio $\rho$ se le llama, entre muchos otros nombres, la magnitud, módulo o valor absoluto del número complejo. Al ángulo $\theta$ se le conoce como fase o argumento. Nos quedaremos con «fase».

La idea de la equivalencia de fase es que podemos multiplicar cualquier estado cuántico por una cantidad de la forma $e^{i\phi}$ sin que la multiplicación tenga consecuencias observables. Supongamos que tenemos un estado $\pmatrix{\alpha\cr\beta}$. Si las amplitudes están normalizadas, al realizar una medición tendremos una probabilidad $\alpha\alpha^* $ de medir el estado $\vert 0\rangle$, y $\beta\beta^* $ de medir $\vert 0\rangle$. Si sustituimos $\alpha$ por $\alpha e^{i\phi}$ la primera probabilidad será $\alpha e^{i\phi}(\alpha e^{i\phi})^* $, es decir, $\alpha\alpha^* e^{i\phi}e^{-i\phi}$.

Puede que no vea a la primera, si no ha usado números recientemente, por qué uno de los exponentes cambia su signo. Recuerde que estamos calculando la conjugada de la fase, y que la conjugada sólo cambia el signo de la parte imaginaria. Como la parte imaginaria, según la fórmula de Euler, es $i$ multiplicada por un seno, al invertir el signo del ángulo, invertimos la parte imaginaria. La parte real es un coseno, por lo que el cambio de signo no le afecta. Al final, encontraremos que $\alpha\alpha^* e^{i\phi}e^{-i\phi}$ es igual a $\alpha\alpha^* $, ¡que es exactamente la probabilidad antes de la multiplicación por una fase!

Coordenadas polares

Para aprovechar esta equivalencia, vamos a describir explícitamente un estado con sus amplitudes en coordenadas polares:
$$
\pmatrix{\alpha\cr\beta} = \pmatrix{\vert\alpha\vert e^{i\phi_\alpha}\cr\vert\beta\vert e^{i\phi_\beta}}
$$¿Qué tal si multiplicamos ambas amplitudes por la fase inversa a la fase original de $\alpha$, es decir, por $e^{-i\phi_\alpha}$?
$$
\pmatrix{\alpha\cr\beta} \cong \pmatrix{\vert\alpha\vert\cr\vert\beta\vert e^{i(\phi_\beta – \phi_\alpha)}} =
\pmatrix{\vert\alpha\vert\cr\vert\beta\vert e^{i\phi}}
$$Con esta multiplicación, hemos conseguido que la primera amplitud sea directamente un número real, aunque la segunda amplitud siga siendo un complejo. Pero sabemos, además, que las amplitudes están normalizadas. Por lo tanto, podemos permitirnos sustituir $\vert\alpha\vert$ por $\cos\frac{\theta}{2}$ y $\vert\beta\vert$ por $\sqrt{1 – \vert\alpha\vert^2}$… es decir, por $\sin\frac{\theta}{2}$. He elegido usar $\frac{\theta}{2}$ en vez de $\theta$ directamente por motivos geométricos que veremos enseguida. Con todo esto, hemos conseguido representar el estado de cualquier qubit aislado de la siguiente manera:
$$
\cos\frac{\theta}{2}\vert 0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\vert 1\rangle
$$Es decir, para representar un qubit sólo necesitaremos dos valores reales, $\theta$ y $\phi$, que podemos interpretar como dos ángulos dentro de los siguientes rangos:
$$
\eqalign{
\theta\in& [0, \pi]\cr
\phi\in& [0, 2\pi]
}
$$Si recuerda algo de geometría analítica, estos dos ángulos más un radio forman un sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional.

La esfera de Bloch

Podemos, por lo tanto, representar visualmente el estado cuántico de un qubit aislado como un punto dentro de una esfera de radio unitario, como en la siguiente imagen:

En esta representación, la coordenada $\theta$ es la latitud, relativa al polo norte (no al ecuador), y $\phi$ es la longitud, tomando como punto de partida el eje $X$. Hay un problema con las coordenadas polares, en general, que también aparece aquí: la longitud en el polo norte y en el polo sur no está definida. Eso no es un problema, en la práctica.

¿Dónde caen los dos vectores de la base computacional? Pues resulta que $\vert 0\rangle$ es el punto $\lbrace\theta=0, \phi=0\rbrace$, precisamente el polo norte, y $\vert 1\rangle$ es $\lbrace\theta=\pi, \phi=0\rbrace$, el polo sur. He puesto que $\phi$ es cero en estos dos puntos, pero da igual lo que pongamos.

¿Recordáis que en la entrada sobre mediciones, llamamos $M_Z$ al operador de medición de la base computacional? Ahora ya puedo explicar de dónde sale la $Z$: la base computacional se representa como puntos antípodas orientados a lo largo del eje $Z$. En general, cualquier par de puntos antípodas sobre la esfera corresponden a vectores de una posible base. Esto es: serían siempre vectores de longitud unitaria perpendiculares entre sí.

Cabe preguntarse entonces si los puntos antípodas orientados a lo largo del eje $X$ y del eje $Y$ tienen alguna aplicación, o al menos, algún nombre especial. Y sí, tienen ambas cosas:
$$
\eqalign{
\vert+\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=0\rbrace\quad\text{eje X} \cr
\vert-\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\pi\rbrace \cr
\vert i\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\frac{\pi}{2}\rbrace\quad\text{eje Y} \cr
\vert-i\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\frac{3\pi}{2}\rbrace}
$$En especial, la base orientada a lo largo del eje $X$ en la esfera de Bloch se conoce como base de Hadamard, y es muy importante en los algoritmos cuánticos. En la base computacional, los vectores de la base de Hadamard son:
$$
\eqalign{
\vert+\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0\rangle + \vert 1\rangle) \cr
\vert-\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0\rangle – \vert 1\rangle)
}
$$

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Historia de un qubit

Veamos ahora cómo representar un qubit utilizando la menor redundancia posible. Sabemos que el estado de un qubit es, por definición, un vector en $\mathbb{C}^2$. Eso significa que necesitamos dos componentes complejos para representar su estado. Por motivos histórico, se suele usar la letra $\psi$ para denotar el estado cuántico. Por lo tanto y resumiendo:
$$\displaylines{
\vert\psi\rangle = \alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \cr
\alpha, \beta \in \mathbb{C}}
$$A los componentes complejos del estado cuántico se les suele llamar amplitudes, como recuerdo de que en la metodología original de Schrödinger, $\psi$ se conoce como «función de onda».

Observad que, sin decir nada, he hecho que los componentes vayan automáticamente asociados a la base formada por los vectores $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$. Los componentes de un vector siempre tienen que referirse a una base concreta, y la base universalmente utilizada en Quantum Computing es la base anterior, conocida como «base computacional». Estos dos vectores son especiales porque son los vectores propios, o eigenvectors, del operador de medición que transforma un qubit en un bit clásico.

Ahora bien, ya he mencionado que, en realidad, el estado cuántico es un rayo dentro del espacio vectorial complejo. Es decir, todos los estados que apuntan en la misma dirección son físicamente equivalentes. Por convenio, y para simplificar la forma de calcular, nos interesa elegir el vector dentro del rayo cuya longitud es la unidad. Por lo tanto, vamos a exigir que nuestras amplitudes cumplan con esta condición adicional:
$$\alpha\alpha^* +\beta\beta^*=1$$No olvidemos, ni por un momento, que tanto $\alpha$ como $\beta$ son números complejos. Por este motivo, no elevamos simplemente al cuadrado cada amplitud, sino que tenemos que multiplicarlas por sus valores conjugados, si queremos que la suma de los cuadrados de las amplitudes sea un valor real.

Notación matricial

Hay programadores ninjas que se buscan directamente la vida con la notación de Dirac y pueden hacer todos los cálculos necesarios directamente con ella. La mayoría de los mortales, en cambio, lo vemos todo más claro si utilizamos la notación matricial de toda la vida. ¡Ojo!, de momento estamos tratando con vectores, y las matrices cuadradas propiamente dichas aparecerán en breve, pero en esta notación, un vector puede representarse como una matriz vertical, de dos filas y una columna:
$$\vert\psi\rangle = \pmatrix{\alpha \cr \beta}$$La ventaja de esta notación es que nos permite omitir la base: implícitamente, se refiere a la base computacional. Por lo tanto, es una notación mucho más compacta. Otra ventaja es que nos permite entender por otra vía de qué va todo ese rollo de los bras, los kets y eso del «espacio vectorial dual». Hemos visto, por ejemplo, que un ket es una matriz vertical. Resulta, entonces, que un bra es simplemente una matriz horizontal:
$$\langle\psi\vert = \pmatrix{\alpha^* & \beta^* }$$Por supuesto, para pasar del ket al bra hemos tenido que conjugar las amplitudes. Con esta notación, además, el producto escalar se calcula muy fácilmente:
$$\eqalign{
\langle\psi\vert\psi\rangle =& \pmatrix{\alpha \cr \beta} \times \pmatrix{\alpha^* & \beta^* } \cr
=& \pmatrix{ \alpha\alpha^* +\beta\beta^* }
}$$Aquí tenemos que recordar las reglas del álgebra lineal: si multiplicamos una matriz $m\times n$ por otra $n\times p$, el resultado es una matriz $m\times p$. Nosotros hemos multiplicado una matriz $1 \times 2$ por una $2\times 1$, por lo que el resultado es una matriz de $1\times 1$. Una sola celda, es decir, un escalar o valor numérico a secas.

El cero no es cero-cero

A esta parte le pongo un subtítulo separado porque es importante. ¿Cómo se representan, usando componentes, los dos vectores de la base computacional?
$$\vert 0\rangle \equiv \pmatrix{1 \cr 0}\quad\vert 1\rangle \equiv \pmatrix{0 \cr 1}$$Esto es extremadamente simple, pero la experiencia personal me dice que es fácil confundirse y creer que el vector del estado $\vert 0\rangle$ tiene sus componentes a cero.

De hecho, el vector $\pmatrix{0 \cr 0}$ no es un estado cuántico correcto.