La esfera de Bloch

Hemos quedado en que el estado de un qubit necesita dos números complejos para representarse. Pero cada número complejo tiene una parte real y otra imaginaria, por lo que en total tenemos cuatro valores reales para cada qubit. ¿Son imprescindibles todo? Parece que no, porque ya conocemos la condición de normalización: $\alpha\alpha^* +\beta\beta^*=1$. Con esta condición, podríamos utilizar solamente tres valores reales, y deducir el cuarto a partir de la normalización.

Equivalencia de fase

En realidad, el estado de un qubit aislado puede representarse con solamente dos números reales. Insisto:

• El estado de un qubit aislado puede representarse con dos números reales.

Pongo el énfasis en el aislamiento del qubit: cuando tengamos sistemas de más de un qubit, tendremos que volver a la representación con tres valores reales, por culpa del entrelazamiento. Pero en lo que sigue, asumiremos que estamos tratando con un solo qubit suficientemente aislado del resto del universo.

¿De dónde sale la redundancia adicional? Pues del mismo hecho de que estamos tratando en realidad con lo que los matemáticos llaman un espacio proyectivo. A la Naturaleza no le interesan los vectores complejos individuales, sino clases de equivalencia dentro de ese espacio vectorial. Una de esas clases de equivalencia viene dada por la posibilidad de multiplicar un vector complejo por una «fase global». La fase recibe ese nombre de la representación de un número complejo en coordenadas polares:
$$x + iy \equiv \rho\cos\theta + i\rho\sin\theta
$$Haciendo uso de la fórmula de Euler, podemos simplificar la identidad anterior de esta manera:
$$x + iy \equiv \rho e^{i\theta}
$$Al radio $\rho$ se le llama, entre muchos otros nombres, la magnitud, módulo o valor absoluto del número complejo. Al ángulo $\theta$ se le conoce como fase o argumento. Nos quedaremos con «fase».

La idea de la equivalencia de fase es que podemos multiplicar cualquier estado cuántico por una cantidad de la forma $e^{i\phi}$ sin que la multiplicación tenga consecuencias observables. Supongamos que tenemos un estado $\pmatrix{\alpha\cr\beta}$. Si las amplitudes están normalizadas, al realizar una medición tendremos una probabilidad $\alpha\alpha^* $ de medir el estado $\vert 0\rangle$, y $\beta\beta^* $ de medir $\vert 0\rangle$. Si sustituimos $\alpha$ por $\alpha e^{i\phi}$ la primera probabilidad será $\alpha e^{i\phi}(\alpha e^{i\phi})^* $, es decir, $\alpha\alpha^* e^{i\phi}e^{-i\phi}$.

Puede que no vea a la primera, si no ha usado números recientemente, por qué uno de los exponentes cambia su signo. Recuerde que estamos calculando la conjugada de la fase, y que la conjugada sólo cambia el signo de la parte imaginaria. Como la parte imaginaria, según la fórmula de Euler, es $i$ multiplicada por un seno, al invertir el signo del ángulo, invertimos la parte imaginaria. La parte real es un coseno, por lo que el cambio de signo no le afecta. Al final, encontraremos que $\alpha\alpha^* e^{i\phi}e^{-i\phi}$ es igual a $\alpha\alpha^* $, ¡que es exactamente la probabilidad antes de la multiplicación por una fase!

Coordenadas polares

Para aprovechar esta equivalencia, vamos a describir explícitamente un estado con sus amplitudes en coordenadas polares:
$$
\pmatrix{\alpha\cr\beta} = \pmatrix{\vert\alpha\vert e^{i\phi_\alpha}\cr\vert\beta\vert e^{i\phi_\beta}}
$$¿Qué tal si multiplicamos ambas amplitudes por la fase inversa a la fase original de $\alpha$, es decir, por $e^{-i\phi_\alpha}$?
$$
\pmatrix{\alpha\cr\beta} \cong \pmatrix{\vert\alpha\vert\cr\vert\beta\vert e^{i(\phi_\beta – \phi_\alpha)}} =
\pmatrix{\vert\alpha\vert\cr\vert\beta\vert e^{i\phi}}
$$Con esta multiplicación, hemos conseguido que la primera amplitud sea directamente un número real, aunque la segunda amplitud siga siendo un complejo. Pero sabemos, además, que las amplitudes están normalizadas. Por lo tanto, podemos permitirnos sustituir $\vert\alpha\vert$ por $\cos\frac{\theta}{2}$ y $\vert\beta\vert$ por $\sqrt{1 – \vert\alpha\vert^2}$… es decir, por $\sin\frac{\theta}{2}$. He elegido usar $\frac{\theta}{2}$ en vez de $\theta$ directamente por motivos geométricos que veremos enseguida. Con todo esto, hemos conseguido representar el estado de cualquier qubit aislado de la siguiente manera:
$$
\cos\frac{\theta}{2}\vert 0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\vert 1\rangle
$$Es decir, para representar un qubit sólo necesitaremos dos valores reales, $\theta$ y $\phi$, que podemos interpretar como dos ángulos dentro de los siguientes rangos:
$$
\eqalign{
\theta\in& [0, \pi]\cr
\phi\in& [0, 2\pi]
}
$$Si recuerda algo de geometría analítica, estos dos ángulos más un radio forman un sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional.

La esfera de Bloch

Podemos, por lo tanto, representar visualmente el estado cuántico de un qubit aislado como un punto dentro de una esfera de radio unitario, como en la siguiente imagen:

En esta representación, la coordenada $\theta$ es la latitud, relativa al polo norte (no al ecuador), y $\phi$ es la longitud, tomando como punto de partida el eje $X$. Hay un problema con las coordenadas polares, en general, que también aparece aquí: la longitud en el polo norte y en el polo sur no está definida. Eso no es un problema, en la práctica.

¿Dónde caen los dos vectores de la base computacional? Pues resulta que $\vert 0\rangle$ es el punto $\lbrace\theta=0, \phi=0\rbrace$, precisamente el polo norte, y $\vert 1\rangle$ es $\lbrace\theta=\pi, \phi=0\rbrace$, el polo sur. He puesto que $\phi$ es cero en estos dos puntos, pero da igual lo que pongamos.

¿Recordáis que en la entrada sobre mediciones, llamamos $M_Z$ al operador de medición de la base computacional? Ahora ya puedo explicar de dónde sale la $Z$: la base computacional se representa como puntos antípodas orientados a lo largo del eje $Z$. En general, cualquier par de puntos antípodas sobre la esfera corresponden a vectores de una posible base. Esto es: serían siempre vectores de longitud unitaria perpendiculares entre sí.

Cabe preguntarse entonces si los puntos antípodas orientados a lo largo del eje $X$ y del eje $Y$ tienen alguna aplicación, o al menos, algún nombre especial. Y sí, tienen ambas cosas:
$$
\eqalign{
\vert+\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=0\rbrace\quad\text{eje X} \cr
\vert-\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\pi\rbrace \cr
\vert i\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\frac{\pi}{2}\rbrace\quad\text{eje Y} \cr
\vert-i\rangle =& \lbrace\theta=\frac{\pi}{2}, \phi=\frac{3\pi}{2}\rbrace}
$$En especial, la base orientada a lo largo del eje $X$ en la esfera de Bloch se conoce como base de Hadamard, y es muy importante en los algoritmos cuánticos. En la base computacional, los vectores de la base de Hadamard son:
$$
\eqalign{
\vert+\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0\rangle + \vert 1\rangle) \cr
\vert-\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0\rangle – \vert 1\rangle)
}
$$