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Cuatro gatos

Vamos a probar fortuna ahora con un circuito mucho más interesante, que a la larga utilizaremos con cierta frecuencia. Este es el circuito:

Las compuertas $H$, naturalmente, corresponden a transformadas de Hadamard aplicadas a qubits individuales.

SuperHadamard

A modo de recordatorio, esta es la definición de la matriz de Hadamard:

$$H = \frac{1}{\sqrt2} \pmatrix{
1&1\cr 1&-1
}$$El coeficiente $\frac{1}{\sqrt2}$ se incluye para que el determinante de la matriz sea la unidad.

Cuando la transformada de Hadamard se aplica a un qubit que está en el estado inicial $\vert0\rangle$, lo lleva al estado $\vert+\rangle$ de la base de Hadamard, que se expresa en la base computacional como $\frac{1}{\sqrt2}(\vert0\rangle + \vert1\rangle)$. Este es un estado superpuesto, un gato de Schrödinger, que cuando se mide, va a alternar entre ceros y unos con la misma probabilidad. Si nos ponemos solemnes, podríamos decir que acabamos de implementar un generador aleatorio de valores binarios.

¿Qué pasa si tengo dos qubits y le aplico Hadamard a cada uno de ellos? Ya sabemos que para tener una respuesta exacta tenemos que multiplicar tensorialmente dos matrices de Hadamard. Este es el cálculo:

$$\eqalign{
H \otimes H &= \frac{1}{2} \pmatrix{1&1\cr 1&-1} \otimes \pmatrix{1&1\cr 1&-1}\cr
&= \frac{1}{2}\pmatrix{1&1&1&1\cr 1&-1&1&-1\cr 1&1&-1&-1\cr 1&-1&-1&1 }
}$$Ahora queremos saber qué pasa si aplicamos esta matriz al estado inicial del circuito, $\vert00\rangle$:

$$(H\otimes H)\vert00\rangle = \frac{1}{2}\pmatrix{1&1&1&1\cr 1&-1&1&-1\cr 1&1&-1&-1\cr 1&-1&-1&1 } \pmatrix{1\cr0\cr0\cr0} = \frac{1}{2} \pmatrix{1\cr1\cr1\cr1}
$$Vamos a entender mejor el resultado si lo representamos en notación de Dirac:
$$\frac{1}{2}\vert0\rangle + \frac{1}{2}\vert1\rangle + \frac{1}{2}\vert2\rangle + \frac{1}{2}\vert3\rangle
$$Esta es una superposición uniforme de los cuatro vectores de la base de dos qubits. Es decir: un gato de Schrödinger simultáneamente en cuatro estados. También podemos interpretarlo como una superposición uniforme de todos los números enteros del cero al tres.

Si aplicamos una medición a este estado, el resultado puede ser cualquiera de los números del cero al tres, con la misma probabilidad para cada uno de ellos (un cuarto). De vuelta a la solemnidad: hemos programado un generador aleatorio que escupe números del $0$ al $3$.

Los goces de la linealidad

Imaginemos que hemos diseñado un circuito multiqubits, que recibe un número entero de entrada y que hace algún cálculo mágico y genera un valor entero muy interesante por el otro extremo. No voy a complicar la fiesta ahora recordando que ese circuito debe implementar una transformación unitaria. Si lo tuviésemos en cuenta, tendríamos que introducir qubits adicionales para mantener la reversibilidad del circuito. Pero vamos a olvidarnos ahora de ese problema, y aceptemos que tenemos un algoritmo mágico que transforma un número en otro número más interesante.

Supongamos ahora que, en vez de pasarle un número al algoritmo, le pasamos de golpe una superposición uniforme de todos los números representables en el número de qubits de los que disponemos. ¿Qué calculará el algoritmo? Como el «algoritmo» es una matriz, es decir, una transformación lineal, lo que obtendremos es una superposición uniforme de todos los resultados. Es como si hubiésemos aplicado el algoritmo en paralelo a todos los números enteros que podemos representar en nuestro ordenador:

$$A\times \sum_i { \alpha_i \hat{e}_i } = \sum_i { \alpha_i (A\times \hat{e}_i) }
$$Esta propiedad se conoce como paralelismo cuántico, y no es tan útil como parece a primera vista. No lo es porque, cuando midamos, colapsaremos el estado en un único vector propio, y perderemos toda esa información. De todos modos, pronto veremos cómo sacar partido de esta situación.

Algebra lineal, nivel Dios

Termino esta entrada con una nota técnica sobre álgebra lineal, que nos va a ser muy útil para obtener el grado de ninja. A todos nos han contado, en un momento u otro de nuestras vidas, que el mundo está lleno de vectores que pastan por los prados y de matrices cuya obsesión en la vida es transformar cada vector que se le ponga a tiro:

$$Ax$$Vamos a plantearnos esta relación desde otro punto de vista. ¿Y si realmente es el vector quien está actuando sobre la matriz para generar otro vector? Podemos hacerlo, siempre que consideremos que una matriz es una colección de columnas, en vez de una colección de filas, que es la forma más habitual de verlas. Observe cómo un vector parasita a una matriz y genera un vector combinando linealmente las columnas de la misma:

$$\pmatrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3} \pmatrix{x_1\cr x_2\cr x_3} = x_1\pmatrix{a_1\cr a_2\cr a_3} + x_2\pmatrix{b_1\cr b_2\cr b_3} + x_3\pmatrix{c_1\cr c_2\cr c_3}
$$Esta intuición nos sirve, si estamos implementando una librería de matrices con aceleración por hardware, para representar las matrices como vectores de columnas. Lo he probado en C++, usando funciones intrínsecas y, efectivamente, es más eficiente implementar la multiplicación de matrices por vectores usando SIMD como una combinación lineal de las columnas de la matriz. De hecho, el convenio de FORTRAN siempre ha sido almacenar las matrices por columnas, no por filas.

Pero no es esto lo que quiero mostrarle exactamente. Imaginemos que el vector $x$ pertenece a la base. En ese caso, uno de sus componentes será un $1$, y el resto, $0$. Veamos cómo transformaría nuestra matriz de Hadamard de $4\times4$ el estado $\vert10\rangle$:

$$(H\otimes H)\vert10\rangle = \frac{1}{2}\pmatrix{1&1&1&1\cr 1&-1&1&-1\cr 1&1&-1&-1\cr 1&-1&-1&1 } \pmatrix{0\cr0\cr1\cr0} = \frac{1}{2} \pmatrix{1\cr1\cr-1\cr-1}
$$Si observamos bien, vemos que lo que ha hecho el vector es seleccionar directamente la tercera columna de la matriz. ¿Por qué? Pues porque $\vert10\rangle$ es el tercer vector de la base: dos ceros, un uno y otro cero. Una combinación lineal de las columnas, en este caso, va directamente a por la tercera columna.

Esto tiene una segunda consecuencia: ya hemos visto que en un ordenador cuántico, el vector de estado siempre se inicializa con ceros: $\vert000\cdots0\rangle$. Este es el primer vector de la base computacional: un $1$ en el primer componente, seguido de un montón de ceros. ¿Qué le va a hacer este astuto vector a una inocente matriz? ¡Pues seleccionar la primera columna!

Esto es un truco muy útil. Si tenemos una matriz de $2^N\times2^N$ que representa a todo un circuito, en realidad sólo necesitamos las $2^N$ celdas de la primera columna, porque sabemos a ciencia cierta cómo funciona la inicialización del ordenador cuántico.

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