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Covarianza

Recordemos cómo se define la varianza de una variable aleatoria X:
$$
Cov(X, Y) = \mathbb{E}[(X – \mathbb{E}[X])^2]
$$Vamos a suponer que tenemos, en vez de una, dos variables aleatorias, $X$ e $Y$. Si manipulamos un poco la definición de varianza, obtendremos la definición de la covarianza entre dos variables:
$$
Cov(X, Y) = \mathbb{E}[(X – \mathbb{E}[X])*(Y – \mathbb{E}[Y])]
$$Según esta definición, la varianza de una variable es la covarianza de la variable consigo misma, por lo que la definición parece tener sentido:
$$
Var(X) = Cov(X, X)
$$Además, la covarianza es simétrica respecto a los argumentos:
$$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
$$La interpretación de la covarianza no es del todo inmediata. En este caso sencillo, si la covarianza es positiva, cuando la $X$ aumenta, también aumenta la $Y$: las variaciones van coordinadas en la misma dirección. Si la covarianza es negativa, cuando $X$ aumenta, la $Y$ disminuye. Si la covarianza es cero, son variables independientes. Sin embargo, para medir el grado de relación entre dos variables aleatorias, existe una medida mejor, llamada precisamente correlación. Dedicaré, en otro momento, una entrada a la correlación. De momento, puedo adelantar que la correlación es una forma de covarianza «normalizada» para que sus valores vayan siempre entre menos uno y uno.

Matrices de covarianza

Los valores de las varianzas y la covarianza de dos variables se pueden organizar en una tabla o matriz:
$$\pmatrix{Cov(X,X)&Cov(X,Y)\cr Cov(Y,X)&Cov(Y,Y)}
$$
Esto nos interesa porque el siguiente paso es extender la definición de covarianza a cualquier número de variables aleatorias. Por ejemplo, con tres variables aleatorias:
$$
\pmatrix{c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3} \cr c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3} \cr c_{3,1}&c_{3,2}&c_{2,3}}
$$Como es fácil de entender, una matriz de covarianza es una matriz simétrica, por definición.

Matrices semidefinidas positivas

Una matriz de covarianza tiene siempre la interesante propiedad de ser semidefinida positiva. Para todo vector x se debe cumplir lo siguiente:
$$
\forall x : x^T \cdot \Sigma \cdot x \ge 0
$$Vamos a interpretar geométricamente la propiedad en cuestión. Lo que estamos haciendo es transformar el vector x con la matriz de covarianza. Luego calculamos el producto escalar del vector respecto al vector transformado. Si decimos que ese producto escalar es mayor o igual a cero, estamos diciendo que, sin importar el número de dimensiones del vector y la matriz, el ángulo entre el vector y el vector transformado está siempre entre -π/2 y +π/2. En otras palabras, la matriz nunca «retuerce» demasiado los vectores que transforma.

¿Nos sirve de algo esta imagen visual? Pues no lo sé. Pero me gusta tener presente este tipo de interpretaciones gráficas. Por experiencia, terminas encontrándole un uso más tarde o más temprano.

Esto sí es importante: una matriz semidefinida positiva tiene, obligatoriamente, un determinante mayor o igual que cero. Este criterio puede servir para descartar rápidamente matrices de covarianza mal construidas. De hecho, si el determinante es cero, es porque existen variables aleatorias redundantes.

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La distribución normal multivariante

La distribución normal multivariante es la generalización más inmediata de la distribución normal a un espacio multidimensional. Esto es: cada vez que tiremos los dados, queremos obtener, en vez de un número flotante, un vector de $N$ dimensiones.

La manera más sencilla de definir, y a la vez explicar, esta distribución es constructivamente. Primero tenemos que definir a qué llamaremos un «vector aleatorio normal estándar». Esto es simplemente un vector cuyos elementos son variables aleatorias normales independientes, cada una con media cero y varianza uno… como las que genera nuestro iterador BoxMuller de la entrada anterior.

Ahora supongamos que $Z$ es uno de estos vectores aleatorios normales y estándares, que $A$ es una matriz de dimensiones compatibles con $Z$, y que $\mu$ es un vector que, para simplificar, asumiremos que tiene las mismas dimensiones que $Z$. Entonces, los vectores aleatorios $X$ definidos mediante la siguiente ecuación pertenecen a una distribución normal multivariante:
$$
X = A \times Z + \mu
$$Para nosotros, los programadores, esto simplemente quiere decir que podemos generar vectores aleatorios normales multivariantes generando primero vectores gaussianos independientes y luego transformándolos con una multiplicación matricial seguida de una suma vectorial.

Intuitivamente, es más o menos claro que la suma vectorial nos sirve para mover la esperanza de la distribución, pero no es tan sencillo ver para qué multiplicamos por una matriz. La respuesta es que así conseguimos que las distintas dimensiones de la distribución no sean independientes. La matriz $\Sigma = A \times A^T$ sería entonces la matriz de covarianza entre las dimensiones de la distribución.

Una distribución muy general

La definición constructiva anterior es muy general, con toda intención. De hecho, en la definición más general, los vectores $X$ y $Z$ no tienen necesariamente que tener la misma dimensión, y la matriz $A$ puede ser, en consecuencia, una matriz rectangular.

De hecho, nuestra definición no garantiza que $\Sigma$ sea una matriz de covarianza razonable. Para ello, todos sus elementos tendrían que ser no negativos, y los elementos de la diagonal, en particular, tendrían que ser positivos. Eso no se cumple para cualquier $A$, y cuando no se cumple, no se puede definir una función de densidad para la distribución. Pero cuando la matriz de covarianza está bien definida, ocurre algo interesante, porque la función de densidad asociada se puede escribir de esta manera:
$$
{1 \over \sqrt{(2\pi)^k\vert\Sigma\vert}}e^{-{1\over 2}(x – \mu)^T \Sigma ^{-1}(x – \mu)}
$$Esta definición es casi idéntica a la de una gaussiana escalar. Las diferencias son que utilizamos vectores para el argumento y la media, y que en vez de tener la varianza en el denominador de la exponencial, utilizamos la inversa de la matriz de covarianza (la variable misteriosa k del factor de escala es simplemente el número de dimensiones de la distribución).

Monsieur Cholesky

¿Y si partimos del extremo contrario? En vez de plantearnos la distribución más general posible, teóricamente, podemos partir de una función de densidad ya asumida. Esto es: tenemos una distribución multivariante, y ya conocemos (o podemos calcular) su media y su matriz de covarianza. Tenemos la matriz $\Sigma$, y lo que queremos es encontrar qué matriz $A$ multiplicada por su traspuesta genera la matriz de covarianza…

Permettez-moi de vous présenter M. Cholesky. André-Louis Cholesky fue un militar y matemático francés, muerto en combate pocos meses antes de que terminase la Primera Guerra Mundial. Durante el conflicto, se dedicó a la geodesia y, para facilitar la confección de mapas, inventó eso que ahora llamamos «descomposición matricial de Cholesky», y que podemos entender intuitivamente como una forma de calcular la raíz cuadrada de una matriz.

La descomposición puede aplicarse a matrices hermitianas definidas positivas; si sabemos que la matriz sólo contiene valores reales, esto es equivalente a pedir que la matriz sea simétrica y que la expresión $x^T M x$ sea estrictamente positiva para cualquier vector no nulo. Y, vaya, esto lo cumple cualquier matriz de covarianza decente. Con esta premisa, se cumple entonces que existe una matriz triangular inferior $L$ tal que $M=L \times L^T$. Como ejemplo sencillo:
$$
\pmatrix{1&0.5\cr 0.5&1} = \pmatrix{1&0\cr 0.5&0.866} \times \pmatrix{1&0.5\cr 0&0.866}
$$No voy a describir en esta entrada el algoritmo para calcular la factorización (quizás más adelante), pero es un algoritmo sencillo, que ya implementan la casi totalidad de las librerías numéricas.

Con todos estos elementos en la mano, ya tenemos una receta para generar vectores aleatorios normales con dimensiones correlacionadas:

  1. Necesitamos conocer o calcular tanto la media como la matriz de covarianza de la distribución deseada.
  2. Calculamos la descomposición de Cholesky de la matriz de covarianza.
  3. Podemos entonces usar la fórmula $X=L\times Z + \mu$, donde $Z$ es un vector aleatorio normal estándar que podemos generar con un algoritmo sencillo como el de Box-Muller o el del zigurat.