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Austra

Unfold

¿Cómo puedo calcular la serie de Fibonacci en Austra, utilizando una secuencia? Con vectores (voy a usar vectores y secuencias reales para evitar problemas de desbordamiento), es relativamente sencillo, si aprovechamos los safe indexers en una expresión lambda:

vec::new(128, (i, v) =>
  if i = 0 then 1 else v{i-1} + v{i-2})

El problema de esta solución es que consume memoria. Tenemos los dos últimos números generados a la izquierda (por así decirlo) del número que estamos generando, pero en realidad, es porque tenemos todo la memoria del vector ya reservada. ¿Y si quisiéramos hacerlo con las nuevas secuencias?

La solución en lenguajes funcionales

Los lenguajes funcionales suelen usar una función unfold para estos casos. Por ejemplo, en F# se define unfold de esta manera:

val unfold : ('State -> ('T * 'State) option) -> 'State -> seq<'T>

La función, en sí, escrita como una secuencia infinita, sería más o menos esto.

let fib = Seq.unfold (fun (lastValue, currentValue)
    -> Some (lastValue,
    (currentValue, lastValue + currentValue))) (1, 1)

Ahora, las explicaciones: necesitaríamos que Austra fuese un lenguaje con tipos genéricos e inferencia automática de tipos… y no es un objetivo mío a corto plazo. Nyx, que es una idea de lenguaje con capacidades numéricas y aceleración que me guardo bajo la manga, tendrá genericidad, pero no estoy del todo convencido que tenga que ser funcional «puro». La función en F#, que sería casi idéntica en Haskell, necesita un «estado» para ir arrastrando en las sucesivas llamadas. En el caso de Fibonacci, el estado son los últimos dos números generados.

De regreso a Austra

No obstante, podemos hacer algo útil para el 99% de los casos. Estos son los tres métodos que se han implementado en C# para soportar unfold en el lenguaje de fórmulas:

public static DSequence Unfold(int size,
  double seed,
  Func<double, double> unfold);
public static DSequence Unfold(int size,
  double seed,
  Func<int, double, double> unfold);
public static DSequence Unfold(int size,
  double first, double second,
  Func<double, double, double> unfold);

La idea es proporcionar sobrecargas para los casos más frecuentes. El primer caso es para cuando el estado es un solo número real. El segundo caso es más sutil: el estado es un número real… más la posición del elemento que se va a generar. Si estuviésemos en un lenguaje funcional, esa posición tendría que estar explícitamente representada en el estado. Y en el tercer caso, el estado son dos números reales, como necesitamos para la secuencia de Fibonacci.

Veamos ahora cómo se usa esto en el lenguaje de fórmulas:

-- Potencias de 2, desde 2 a 1024.
seq::unfold(10, 2, x => 2x);
-- Serie de Maclaurin para exp(1).
1 + seq::unfold(100000, 1, (n, x) => x / (n + 1)).sum;

He tenido que sumar explícitamente un uno a la serie de Maclaurin, porque era lo más sencillo. Si quiere practicar, piense en cómo calcular ln(2) con una secuencia de estas.

La secuencia de Fibonacci se calcula así:

seq::unfold(50, 1, 1, (x, y) => x + y);

Con números enteros, haríamos esto:

iseq::unfold(30, 1, 1, (x, y) => x + y);

No es la solución perfecta, pero es fácil de entender, y encima se ejecuta con rapidez.

Algo curioso relacionado con el diseño de lenguajes: imagine un lenguaje que ofrece un vec<double> y un vec<complex>, en vez del vec y el cvec del lenguaje de fórmulas de Austra. ¿Se ha dado cuenta de que el vector de complejos no podría soportar todas las operaciones del vector de números reales? El caso más evidente: no se puede ordenar el vector de complejos, ni calcular la entrada con el menor o mayor valor. Los números complejos no soportan un orden total que tenga sentido. ¿Cómo haría usted para que una clase genérica tuviese en cuenta estos detalles? Ahora mismo, si quieres hacer esto en C#, tienes que definir una clase genérica «recortada», en plan Vec<T>, y las clases finales serán clases que ya no serán genéricas, pero que añadirían la funcionalidad no común. Algo así es que lo hace Math.NET.

Ese es el problema que intento resolver: un lenguaje de programación con auto-vectorización, en el que programar una librería como la de Austra no sea tan complicado, y que me deje definir tipos matemáticos como el vector de complejos y el vector de reales utilizando una base común genérica. Hay más cosas en las matemáticas que no se ajustan a la idea de la programación de que «lo derivado tiene más operaciones».

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C# FinTech

Secuencias

Esto es una perogrullada: en un lenguaje de programación funcional, las cosas se suelen hacer de forma diferente. Y probablemente escribir «perogrullada» sea una pedantería. Dejo el párrafo vivo por pereza, pero no me lo tenga en cuenta.

Factorial

Austra no pretende ser un lenguaje de programación funcional. Ni siquiera pretende ser «Turing-completo». En algún punto del camino, he pensado en diseñar un lenguaje «de verdad», e incluso en saltarme la maquinaria de .NET para compilarlo a código nativo directamente. Pero falta un poco para eso.

De todas maneras, hay que intentar que se puedan hacer todas las cosas posibles en Austra. Por ejemplo, ¿cómo calculas un factorial, si no tienes todavía funciones recursivas, y no quieres introducir bucles? Hasta ahora, la solución era parecida a ésta:

vec(10, i => i + 1).prod

No estamos definiendo una función, sino que estamos usando un parámetro a dedo, pero funciona. Creamos un vector de 10 entradas, lo llenamos con los números del 1 al 10, y multiplicamos todos los elementos del vector. Incluso podemos «optimizar» un poco la expresión:

vec(8, i => i + 2).prod * 2

Es absurdo dejar el 1 en el vector, y ya que tenemos diez elementos, en vez de dejarlos nueve, quito también el 2. Eso lo hago porque sé que internamente el producto mete los ocho elementos en dos registros AVX y no tengo que manejar el elemento nuevo aparte. El problema es que, de todas maneras, estamos pidiendo memoria para el vector.

En Austra 2.0 (que ya tiene soporte para .NET 8 y AVX512, dicho sea de paso), ya están implementadas las secuencias de valores reales, y puedes hacer esto otro, que es más natural:

seq(2, 10).prod

La nueva clase se llama seq, y es una copia descarada del diseño de enumerables y LINQ (o de los streams de Java, o de las «list comprehensions» de tantos otros lenguajes funcionales). Ahora tenemos un seq, pero luego vendrán iseq y cseq, para secuencias de enteros y complejos. Observe también que he acortado vector a vec, para usar cvec en vez de complexvector, y para que un futuro vector de enteros se pueda llamar ivec a secas.

Las secuencias pueden hacer casi todas las cosas que hacen los vectores, y en la mayoría de los casos, generarlas es más sencillo: con el vector, usamos una función lambda. También permiten ahorrar código porque aplican los mismos trucos que LINQ para objetos. Por ejemplo:

-- Esta es una secuencia que divide el intervalo
-- de 0 a 2*pi en 360 trozos.
-- Multiplicamos cada número por dos...
seq(0, τ, 360) * 2
-- .. pero internamente, lo transformamos en esto:
seq(0, 2τ, 360)

Recursividad eficiente

Y esto último todavía no está implementado, pero es bueno pensar en estas cosas antes de lanzarse a programarlas. ¿Cómo definiríamos una función para el factorial que fuese medianamente eficiente, pero usando recursividad? Lo que se suele hacer en un lenguaje funcional, pero con una notación al estilo Austra:

def fact(n: int) =
  let f = (n, acc: int) =>
    if n = 1 then acc else f(n - 1, acc * n) in
      f(n, 1)

El truco está en usar una función auxiliar, que al estilo Austra sería una lambda en una cláusula let. La función auxiliar es recursiva por la cola, por lo que el propio JIT de .NET la puede convertir en un bucle. La recursividad en lambdas va a ser problemática, porque estoy usando directamente Linq.Expressions para generar código, pero hay un truco sencillo, que es el que voy a usar en las primeras pruebas: declarar una variable de tipo lambda, asignarle un puntero vacío, y a continuación, asignarle una expresión lambda que ya podrá usar la variable recursivamente. La alternativa es usar un combinador Y. Es un truco que viene, precisamente, del cálculo lambda, sobre el que escribiré en algún momento. No es que sea cómodo o eficiente, pero es interesante.

De todas maneras, me he dado cuenta, revisando la documentación, que en F# hay que anunciar cuando una función va a ser recursiva. Una alternativa que tengo que pensar es generar un «método dinámico» en estos casos, con el esfuerzo adicional de generar directamente el código IL. Pero tengo ya experiencia de generar IL con Freya, y puedo reutilizar código.

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C# Insights

Smart boy’s optimizations

Decía el gran Donald Knuth algo así como que premature optimization is the root of all evil. Santificado sea su nombre…

Calidad de código

Una vez citadas las sagradas escrituras, debo reconocer que mi lado hereje cumple otros mandamientos:

  • Peor que la optimización prematura, es no optimizar nunca. Una vez escuché una mala excusa sobre un programa que tardaba 25 horas en cargar un fichero: «es que nadie me dijo que tenía que ser rápido». Los ordenadores existen, precisamente, para hacer las cosas más rápidamente. No sólo porque es interés directo del usuario del programa que éste termine antes, sino que, además, le interesa el ahorro en electricidad y en el desgaste del propio aparato.
  • Si estás escribiendo una aplicación, te puedes permitir el lujo de esperar a que funcione para buscar los puntos críticos de eficiencia. Pero si estás escribiendo una librería, que se va a utilizar en formas que aún no sospechas… mejor que todo vaya como la seda desde el principio.
  • La mayoría de las optimizaciones (yo diría más bien mejoras) caen en una categoría que yo llamo «mejoras de chico listo», y tienen que ver con la calidad del código que cada programador puede generar sin esfuerzo adicional.

Las optimizaciones de chico listo, por supuesto, dependen de la experiencia del programador, de lo bien que le funcione la memoria y de lo bien que se le dé la detección de patrones, por lo que se trata de una categoría difícil de delimitar. Programar es un arte.

Un ejemplo

En cualquier caso, el propósito de esta entrada es mostrarle algunas de las optimizaciones que he aprendido mirando el código fuente de .NET. Yo las tengo ya en mi memoria de trabajo: las aplico automáticamente cuando detecto que son aplicables.

Trabajando con una implementación de la función erf, tropecé con este código, que evalúa un polinomio en un punto, usando los coeficientes de una tabla:

private static double Evaluate(double z, double[] coefficients)
{
    if (coefficients == null)
        throw new ArgumentNullException(nameof(coefficients));
    int n = coefficients.Length;
    if (n == 0)
        return 0;
    double sum = coefficients[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
    {
        sum *= z;
        sum += coefficients[i];
    }
    return sum;
}

Esta función se ejecuta varias veces, con distintos coeficientes. Un ejemplo de tabla de coeficientes es ésta:

static readonly double[] ErvInvImpAn =
{
    -0.000508781949658280665617, -0.00836874819741736770379,
    0.0334806625409744615033, -0.0126926147662974029034,
    -0.0365637971411762664006, 0.0219878681111168899165,
    0.00822687874676915743155, -0.00538772965071242932965
};

Este método es un método privado de una clase, y una rápida ojeada me confirmó que las tablas que se le pasan son siempre no nulas, y con longitud mayor que cero. ¿A qué vienen las dos comprobaciones iniciales? Respuesta: es uno de los problemas que causa la «modularidad». Escribes software que no sabes cómo se puede usar, y lo proteges de las cosas más inverosímiles. Pero si es un método privado, tanta precaución sobra. Empezamos por esta simplificación, para ir haciendo boca y verlo todo más claro:

private static double Evaluate(double z, double[] coefficients)
{
    int n = coefficients.Length;
    double sum = coefficients[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
    {
        sum *= z;
        sum += coefficients[i];
    }
    return sum;
}

El siguiente paso seguramente le sorprenderá: sustituyo la tabla de coeficientes, que ahora es un campo estático de sólo lectura, por esto:

static ReadOnlySpan<double> ErvInvImpAn => new[]
{
    -0.000508781949658280665617, -0.00836874819741736770379,
    0.0334806625409744615033, -0.0126926147662974029034,
    -0.0365637971411762664006, 0.0219878681111168899165,
    0.00822687874676915743155, -0.00538772965071242932965
};

Sorprendente, ¿verdad? Es un truco poco conocido, pero que Microsoft usa a diestra y siniestra en el código de .NET Core. Por razones que en parte se me escapan, el compilador de C# y el JIT transforman esta construcción en una zona de datos dentro de los metadatos del código IL. Y el JIT lo maneja más eficientemente. No hay mucha lógica en que tengamos que usar precisamente un ReadOnlySpan<double>, o que haya que convertir el campo en una propiedad de sólo lectura. Se trata de una marca, o un guiño de complicidad, que utilizan el JIT y el compilador para generar código más eficiente.

Esto me obliga a crear una nueva versión del amigo Evaluate que acepte un ReadOnlySpan<double> como origen de sus coeficientes. Esta es la nueva versión, con dos optimizaciones adicionales:

private static double Evaluate(
    double z, ReadOnlySpan<double> coeffs)
{
    int n = coeffs.Length;
    ref double rd = ref MemoryMarshal.GetReference(coeffs);
    double sum = Unsafe.Add(ref rd, n - 1);
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
        sum = Math.FusedMultiplyAdd(
            z, sum, Unsafe.Add(ref rd, i));
    return sum;
}

De las dos nuevas mejoras, la más sencilla es el uso de Math.FusedMultiplyAdd: un método de la clase Math que combina la multiplicación y la suma en una sola instrucción de la CPU, y puede darnos más velocidad y precisión. En este caso, además, he medido que realmente sea ventajosa, porque no siempre lo es.

El segundo cambio tiene dos partes. Como el bucle for utilizado no es un bucle convencional, el JIT actual no puede deducir que no habrán referencias fuera de rango para eliminar las comprobaciones de los índices en tiempo de ejecución. El bucle es descendente, y ni siquiera comienza por el último elemento. No le podemos exigir tanto al JIT.

Lo primero que hago es pedir una managed reference a la primera celda de la tabla de coeficientes:

    ref double rd = ref MemoryMarshal.GetReference(coeffs);
    // Equivalente a:
    // ref double rd = ref coeffs[0];

Esto es más o menos parecido a pedir un puntero al inicio de la tabla. En realidad, C# nos permitiría pedir un puntero al inicio de la tabla, pero el precio sería «fijar» la tabla en memoria para que el recolector de basura no vaya a pensar que no la estamos usando. El puntero que conseguimos con esta técnica es uno que el recolector de basura puede identificar y tener en cuenta. Y la forma normal de pedirlo es la que muestro en los comentarios del fragmento. ¿Por qué no la he usado? Pues porque implicaría una comprobación de rango innecesaria: el JIT generaría una comparación y un salto para verificar si la tabla no está vacía. Para evitarlo, uso MemoryMarshal.GetReference, que es otro truco sucio de Microsoft, para conseguir un puntero al inicio de un array sin costes ocultos.

Lo que sigue es más sencillo: utilizo el método Add de la clase Unsafe para llegar a cada una de las celdas que contienen los coeficientes. Sí, todo es un poco enrevesado, pero una vez que te lo aprendes, no te cuesta nada escribir estas cosas de carrerilla. Me siento en el deber de contárselas. Ya usted decidirá si merece la pena o no usarlas en su propio código cuando lo crea necesario. No son cosas para usar en una aplicación que tienes que escribir en tres meses. Pero creo que tienen un lugar en una librería de código.

Y hay más, claro

Hay montones de trucos similares en el código fuente de .NET. Por ejemplo, imagine que hay que tiene que hacer una comprobación de rango de un índice:

if (0 <= index && index < length) ...

Dos comparaciones, y dos saltos. Las comparaciones son lo de menos. Los dos saltos ralentizan todo. ¿Qué hace Microsoft en estos casos?

if ((uint)index < length) ...

La variable index suele ser un entero con signo. No cuesta nada pedir que el compilador la trate, momentáneamente, como un entero del mismo tamaño, pero sin signo. Si el índice fuese negativo, al tratarlo como un entero sin signo, el valor sería inevitablemente superior al de length. Una sola comparación, y un único salto potencial.

Veamos una variante derivada de este truco. El analizador lexical de Austra tiene que comprobar muchas veces si un carácter es un dígito decimal:

if ('0' <= ch && ch <= '9') ...

La forma más eficiente, sin embargo, es la siguiente:

if ((uint)(ch - '0') < 10u) ...

He introducido una resta, que se ejecuta eficientemente, y he quitado un salto potencial.

De todas maneras, una de mis optimizaciones de chico listo preferidas es muy sencilla. En vez de escribir:

x * x - y * y

un servidor prefiere:

(x + y) * (x - y)

Y es que en la segunda expresión hay una suma de más, pero una multiplicación de menos.

Es agradable tener un cerebro cargado, y estar dispuestos a usarlo.

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C# FinTech

Ostara

Todavía es work-in-progress, pero ya tenemos una versión open-source de una aplicación de escritorio, en WPF, para Austra. El código está ya en GitHub.

El editor de código es AvalonEdit. Reconoce la sintaxis del lenguaje de fórmulas e implementa una versión bastante decente de completamiento de código. Esto es lo que aporta la versión WPF respecto a la aplicación de consola: es mejor para aprender a usar el lenguaje. Los gráficos están hechos con OxyPlot, de momento.

Faltan cosas, tanto en la librería como en la aplicación, para darme por satisfecho, pero todo es cuestión de tiempo. Me gustaría, sobre todo, terminar de definir un mecanismo genérico de carga de series desde fuentes de datos externas.

Quiero también actualizar el código de la función de autocorrelación, e implementarla usando la transformada de Fourier que ya viene incluida. E incluir, de una puñetera vez, el modelo ARIMA completo y algo de GARCH y familia. De momento, sólo está incluido el modelo de series autoregresivas. También está pendiente una implementación con AVX de generación de números aleatorios.

Nota: autocorrelación ya actualizada. Como hay que añadir ceros al final de la serie para evitar que se cuelen las correlaciones cíclicas, la FFT se aplica a un número de muestras que es potencia de dos, y se utiliza el sub-algoritmo más eficiente.

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C#

Austra en GitHub

Tras muchos nervios y algún titubeo, ya he subido AUSTRA a GitHub:

Está el código completo de la librería (proyecto Austra.Library), el compilador del lenguaje de fórmulas (Austra.Parser), una aplicación de consola para ejecutar fórmulas en el lenguaje (Austra.REPL), y un par de proyectos más, para tests y para benchmarks.

Todo esto es work in progress, por supuesto. Me queda pendiente subir los dos packages (librería y compilador) a NuGet. Lo que me urgía, no obstante, era dar acceso al código fuente. Está subido con licencia MIT, que es la que entiendo que es más permisiva. Recuerde que el objetivo final de todo esto es docente: tener una referencia online de cómo usar código SIMD, punteros y esas cosas, y servir como base para mi futuro libro (Unsafe C#).

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C#

Austra PolySolve

C’est la vie: elle est dure et souvent courte.

Es imposible escribir sobre ecuaciones algebraicas sin mencionar a Évariste Galois, quien no sólo cerró una larga historia de intentos de solución de este tipo de ecuaciones, sino que además tuvo una vida corta y trágica.

Dicen que los egipcios y los babilonios eran capaces de resolver las ecuaciones de segundo grado y, por supuesto, las lineales. Las de tercer y cuarto grado tuvieron que esperar al Renacimiento Italiano. Y luego, la teoría se estancó: nadie era capaz de resolver una ecuación de quinto grado general; sólo algunas versiones restringidas.

Lagrange estuvo a punto de demostrar que las ecuaciones de quinto grado y superiores no tenían una solución general. Fue Ruffini quien lo consiguió, aunque con algunos pequeños errores, que más tarde corrigió Abel. De todos modos, la teoría que Galois puso por escrito en 1830, cuando sólo tenía 18 años, tenía un alcance mucho mayor, y ofrecía una estructura más completa y versátil para estudiar las ecuaciones algebraicas. Mientras que el teorema de Ruffini-Abel se centraba en la solubilidad de ecuaciones algebraicas por medio de funciones elementales (como exponentes, logaritmos, etc.), la criatura que inventó nuestro héroe introdujo los llamados grupos de Galois para analizar la solubilidad y las simetrías en un marco más general. No solo abordó la solubilidad de ecuaciones, sino que la teoría es aplicable también en otras áreas de las matemáticas, como la teoría de números y la geometría algebraica.

Por desgracia, el artículo presentado en 1830 por nuestro héroe no tuvo el éxito que merecía. Cauchy le pasó la patata caliente a Poisson, y Poisson no entendió ni papa del tema. El rechazo cabreó a Galois, pero aprovechó para rescribir la demostración, y fue esta modificación la que finalmente fue reconocida, entre otros, por el propio Cauchy. Eso sí: tras la muerte de Galois…

Galois tenía una cabecita muy loca, le pirraba la política, y para colmo, estaba algo deprimido por la muerte de su padre. 1832 fue un año difícil para el chico. Estuvo en prisión un par de veces, por ciscarse en Louis Philippe, el penúltimo rey de Francia. Al salir de la cárcel por segunda vez, se enredó en un duelo absurdo, teóricamente por una coquette, aunque no es descartable que todo fuese una trampa de sus enemigos políticos. Se pasó la noche anterior al duelo escribiendo una carta sobre sus últimos avances matemáticos. Al día siguiente, interpuso su abdomen en la trayectoria de una bala, y sus contrincantes lo dejaron tirado sobre la hierba como a un chien. Un transeúnte lo vio y lo llevó al hospital, pero al día siguiente se reunió con su Creador, probablemente por culpa de una peritonitis.

And all the king’s horses and all the king’s men, couldn’t put Évariste together again.

Raíces reales

Mi curiosidad por estos temas viene de cuando tenía unos diez u once años: encontré la solución razonada de las ecuaciones de segundo grado, en un libro de electrónica, y me dio por intentar resolver por mi cuenta el problema de las cúbicas. No lo conseguí. Tropecé por casualidad con la sustitución de Vieta, pero no conseguí algo mucho más sencillo: cómo eliminar el término cuadrático, que suele ser el primer paso de la solución. Pero compré un libro que explicaba la fórmula cúbica y la cuártica, y me convertí en un friqui de las mates.

Volví a enredar con ecuaciones algebraicas en 2005, cuando me dio por probar si se podía escribir un ray tracer decente en C#. Es bastante frecuente tener que resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado para calcular intersecciones entre rayos de luz y determinados tipos de objetos. La particularidad es que, en este contexto, sólo se necesitan las soluciones reales. Cuando las cosas se ponen feas, existe una técnica para encontrar las raíces reales de cualquier polinomio utilizando las secuencias de Sturm. Naturalmente, este algoritmo es una sólo una aproximación iterativa.

Raíces complejas, todas

Cuando estás escribiendo una librería como AUSTRA, te interesa resolver el problema más general, que es encontrar todas las raíces, ya sean complejas o reales, de un polinomio arbitrario. ¿Se acuerda de los valores propios? El método que utilizo en AUSTRA está basado en ellos.

Supongamos que queremos resolver la ecuación:

$$c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_{n-1}x^{n-1} + x^n$$El término de mayor grado está normalizado para que su coeficiente sea la unidad. Ahora formamos la siguiente matriz, conocida como «matriz de Frobenius»:

$$F=\pmatrix{0&0&0&\cdots&0&-c_0\cr
1&0&0&\cdots&0&-c_1\cr
0&1&0&\cdots&0&-c_2\cr
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr
0&0&0&\cdots&1&-c_{n-1}}$$Nos planteamos entonces encontrar los valores propios de $F$, que deben cumplir esta igualdad:

$$F\vec{v} = \lambda\vec{v}$$donde $\vec{v}$ es uno de los vectores propios. Si reordenamos los términos, nos encontramos con esto:

$$(F-\lambda I)\vec{v}=0$$donde $I$ es la matriz identidad. Para que esta igualdad se cumpla, el determinante de $(F-\lambda I)$ debe ser igual a cero. Y resulta que el determinante de $(F-\lambda I)$ es, precisamente, la ecuación original. Qué listo era Frobenius.

AUSTRA tiene un método muy eficiente para calcular valores propios, incluso en casos como estos, en los que la matriz no es simétrica. Por lo tanto, para resolver un polinomio primero lo normalizamos, luego creamos su matriz de Frobenius, y finalmente calculamos sus valores propios. La función global polySolve es la que se encarga de la implementación, en el lenguaje funcional de AUSTRA. En la aplicación de consola, podemos teclear lo siguiente:

> set v = [5, 4, 3, 2, 1]
ans ∊ ℝ(5)
5  4  3  2  1
> polysolve(v)
ans ∊ ℂ(4)
<0,137832; 0,678154>   <-0,537832; 0,358285>
<0,137832; -0,678154>  <-0,537832; -0,358285>

polySolve puede recibir tanto un vector con los coeficientes, como los coeficientes sueltos. En este caso, estamos resolviendo la ecuación de cuarto grado $5x^4+4x^3+3x^2+2x+1=0$, y el resultado son cuatro números complejos, conjugados a pares.

¿Quiere comprobar que las raíces son realmente soluciones de la ecuación? Hagamos esto entonces:

> polysolve(v).map(c => polyeval(c, v))
ans ∊ ℂ(4)
<-1,33227E-15; -7,77156E-16>   <-1,33227E-15; 4,44089E-16>
 <-1,33227E-15; 7,77156E-16>  <-1,33227E-15; -4,44089E-16>

polyEval sirve para evaluar un polinomio para un argumento complejo o real, y el método map crea un nuevo vector complejo calculando sus entradas con una función lambda, al estilo del método Select de LINQ. Incluso tenemos una función poliDerivative que, con los mismos argumentos que polyEval, evalúa la derivada del polinomio que le pasamos en la coordenada que le digamos. Esto, a su vez, es muy conveniente para buscar raíces reales con el método de Newton-Raphson… que también ofrece AUSTRA (función solve, a secas).

¿Librería o lenguaje?

Por supuesto, todo esto sería igual de fácil, eficiente y elegante, o quizás un poco más, si simplemente enchufásemos el package Austra.Library a un proyecto en .NET Core y utilizásemos directamente las clases. Pero he querido mostrar este ejemplo en el lenguaje de fórmulas de AUSTRA como demostración de un caso de uso importante para el lenguaje: es una forma rápida y sencilla de poner a prueba la funcionalidad de la librería.

Y hay más casos de uso, que explicaré más adelante.

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C#

El Gran Secreto de los Complejos

Al grano: el Gran Secreto de los Números Complejos es que, si quieres utilizar instrucciones AVX para acelerar los cálculos, la mejor forma de representarlos no es la que todos imaginamos: la parte real y, a continuación, la parte imaginaria.

Partamos de una regla básica de las instrucciones vectoriales:

  • Es mejor manejar estructuras de arrays que arrays de estructuras.

Observe que ésta es una píldora difícil de tragar en la Programación Orientada a Objetos. Complex es una clase que ya está (bien) definida en System.Numerics, pero para simplificar la explicación, voy a fingir que la definimos nosotros. Con la POO en mente, comenzaríamos definiendo la estructura, junto con sus métodos, y la haríamos probablemente implementar algunas interfaces, por completitud, en este plan:

public readonly struct Complex
{
    public double Real { get; }
    public double Imaginary { get; }

    public Complex(double re, double im) =>
        (Real, Imaginary) = (re, im);

    // Y así, sucesivamente…
}

Si quisiéramos entonces un vector de números complejos, haríamos algo parecido a esto:

public readonly struct ComplexVector
{
    private readonly Complex[] values;

    public unsafe ComplexVector(Complex[] values) =>
        this.values = values;

    // Y así, sucesivamente…
}

Pues bien, ahora llego yo (o la sacrosanta Realidad, si lo prefiere hacer menos personal) y le digo que la mejor forma de programar un vector de complejos, al menos si queremos acelerarlo con AVX, es la siguiente:

public readonly struct ComplexVector
{
    private readonly double[] re;
    private readonly double[] im;

    // Omito verificaciones de igual longitud
    // para simplificar el ejemplo.
    public ComplexVector(double[] re, double[] im) =>
        (this.re, this.im) = (re, im);

    public unsafe ComplexVector(Complex[] values)
    {
        this.re = new double[values.Length];
        this.im = new double[values.Length];
        fixed (double* p = re, q = im)
            for (int i = 0; i < values.Length; i++)
                (p[i], q[i]) = values[i];
    }

    // Y así, sucesivamente…
}

Podemos dejar la estructura Complex original: nos es útil. Pero al representar la lista de complejos, es mejor que cada campo vaya en su propia lista. Es cierto también que deberíamos utilizar AVX para convertir un array tradicional de complejos en un vector: existe la posibilidad, pero no lo voy a mostrar aquí, para simplificar. He omitido también un método de extensión que he añadido en una clase estática para poder "deconstruir" fácilmente un complejo en sus componentes. No tiene mucha trascendencia, pero ahí va, para que no haya tantos espacios en blanco:

[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
public static void Deconstruct(
    this Complex cmp, out double re, out double im) =>
    (re, im) = (cmp.Real, cmp.Imaginary);

¿Cómo se da cuenta uno?

¿Cómo se da cuenta uno de estas cosas? StackOverflow está lleno de consejos de este tipo, escritos por personas que ya lo han sufrido en sus carnes. Pero a uno no se le enciende la bombilla hasta que se pega con su propia pared. En este caso, fue intentando acelerar una Transformada Discreta de Fourier para AUSTRA. El código sin acelerar usaba los complejos como se han usado casi toda la vida: cada real con su parte imaginaria. A priori, cuando uno no conoce bien AVX, se imagina que será relativamente sencillo manejar dos números complejos dentro de un vector de cuatro valores reales, y que el conjunto de instrucciones va a estar de tu parte. Craso error.

Al final, tuve que limitarme a acelerar algunas partes que, oportunistamente, "se dejaban", casi siempre con código SSE y vectores de sólo 128 bits. Lo normal, cuando he acelerado otros algoritmos, ha sido reducir los tiempos de ejecuciones de cuatro hasta incluso ocho o diez veces. En este caso, la mejora sólo ha sido la mitad, en la mayoría de los casos, y en algunos, la tercera parte. Como resultado, tengo pendiente replantearme todo el asunto de la Transformada Discreta de Fourier, pero utilizando listas paralelas para los reales y los imaginarios.

Quiero que vea, de todas maneras, lo sencillo que es usar la técnica de estructura de listas en vez de listas de estructuras. El siguiente método es el producto escalar de dos vectores complejos, representados como Dios manda:

public static unsafe Complex operator *(
    ComplexVector v1, ComplexVector v2)
{
    if (v1.Length != v2.Length)
        throw new VectorLengthException();
    fixed (double* pr = v1.re, pi = v1.im,
                   qr = v2.re, qi = v2.im)
    {
        double sumRe = 0, sumIm = 0;
        int i = 0, size = v1.Length;
        if (Avx.IsSupported)
        {
            Vector256<double> accRe = Vector256<double>.Zero;
            Vector256<double> accIm = Vector256<double>.Zero;
            for (int top = size & ~3; i < top; i += 4)
            {
                var vpr = Avx.LoadVector256(pr + i);
                var vpi = Avx.LoadVector256(pi + i);
                var vqr = Avx.LoadVector256(qr + i);
                var vqi = Avx.LoadVector256(qi + i);
                accRe = Avx.Add(accRe,
                    Avx.Multiply(vpr, vqr)
                       .MultiplyAdd(vpi, vqi));
                accIm = Avx.Add(accIm,
                    Avx.Multiply(vpi, vqr)
                       .MultiplySub(vpr, vqi));
            }
            sumRe = accRe.Sum();
            sumIm = accIm.Sum();
        }
        for (; i < size; i++)
        {
            sumRe += pr[i] * qr[i] + pi[i] * qi[i];
            sumIm += pi[i] * qr[i] - pr[i] * qi[i];
        }
        return new(sumRe, sumIm);
    }
}

Si no lo recuerda del álgebra, cuando se trata de vectores complejos, el producto escalar usa la conjugada del segundo operando. Esto es: la parte imaginaria del segundo operando invierte su signo. Esto es lo que permite que el producto escalar de un vector consigo mismo sea un valor real.

El código vectorial tiene una correspondencia uno a uno con el código escalar que maneja la parte de los arrays que puede sobrar al final. Si repasa la entrada anterior, la del algoritmo de Welford, notará el mismo patrón: a pesar de que el algoritmo escalar es bastante oscuro, es relativamente sencillo convertir esa parte en código vectorial. La parte más complicada de la entrada pasada era cuando había que mezclar los cuatro acumuladores individuales. Es el mismo problema que hemos visto ya unas cuantas veces cuando calculamos un producto escalar: acumular es sencillo. Lo complicado es sumar después los cuatro acumuladores.

El Misterioso Constructor Postergado

Para no dejar demasiados cabos sueltos, aquí tiene una posible implementación del código que reparte partes reales e imaginarias a sus respectivos arrays. Mi primer impulso fue utilizar Avx2.GatherVector: leer cuatro partes reales saltándome las imaginarias, y luego leer cuatro partes imaginarias. Pero, por desgracia, el tiempo de ejecución del constructor se disparó al doble. No hay forma humana de predecir estas cosas, que no sea prueba, benchmark y error.

La versión que funciona, y que reduce casi a la mitad el tiempo de la versión de más arriba, lee cuatro complejos en dos vectores de 256 bits. Lo primero que hace es usar Avx.Shuffle para "barajar las cartas" y juntar todas las partes reales en un mismo vector de 256 bits, y las imaginarias en otro. No me pida que calcule estas cosas de memorias. Cuando me tocan estos marrones, tengo todavía que pillar un cuaderno y lápiz, e irme a páginas como ésta, para repasar los diagramas. He visto también que el Shuffle se puede sustituir también por llamadas a UnpackHigh/UnpackLoad. Es probable que estas llamadas den mejores tiempos, pero no me ha dado tiempo a hacer la prueba.

El problema de Shuffle (y de las alternativas mencionadas) es que te deja los números en el orden [1, 3, 2, 4]. Si no es importante respetar el orden, se pueden quedar así. Pero si hay que reordenar los elementos, hay que usar Avx2.Permute4x64 para ello. En general, AVX intenta, dentro de lo posible, no pasar valores de una mitad a la otra mitad del vector. Hay que usar cosas introducidas en AVX2 para conseguirlo. Por ese motivo, el constructor verifica si Avx2.IsSupported antes de lanzarse al río:

public unsafe ComplexVector(Complex[] values)
    : this(values.Length)
{
    fixed (double* p = re, q = im)
    fixed (Complex* r = values)
    {
        int i = 0;
        if (Avx2.IsSupported)
        {
            for (int top = values.Length & ~7; i < top; i += 4)
            {
                var v1 = Avx.LoadVector256((double*)(r+i));
                var v2 = Avx.LoadVector256((double*)(r+i+2));
                Avx.Store(p + i, Avx2.Permute4x64(
                    Avx.Shuffle(v1, v2, 0b0000), 0b11011000));
                Avx.Store(q + i, Avx2.Permute4x64(
                    Avx.Shuffle(v1, v2, 0b1111), 0b11011000));
            }
        }
        for (; i < values.Length; i++)
            (p[i], q[i]) = r[i];
    }
}

Números: en mi máquina, un i9-11900K, crear un ComplexVector directamente a partir de un array de 1024 complejos, tardaba más o menos un milisegundo. Con las mejoras AVX2, tarda 650 microsegundos. Casi la mitad. Y lo mejor, para mi gusto, es que no he tenido que usar paralelismo con tareas. El usuario de la librería ya usará ese paralelismo cuando lo considere necesario, y tendrá las manos más libres.

Como regalo, le dejo la conversión inversa: de vector complejo a array de complejos:

public unsafe static explicit
    operator Complex[](ComplexVector v)
{
    Complex[] result = new Complex[v.Length];
    fixed (double* p = v.re, q = v.im)
    fixed (Complex* r = result)
    {
        int i = 0;
        if (Avx2.IsSupported)
        {
            for (int top = v.Length & ~3; i < top; i += 4)
            {
                var vr = Avx.LoadVector256(p + i);
                var vi = Avx.LoadVector256(q + i);
                Avx.Store((double*)(r + i),
                    Avx2.Permute4x64(Avx.Permute2x128(
                    vr, vi, 0b0010_0000), 0b11_01_10_00));
                Avx.Store((double*)(r + i + 2),
                    Avx2.Permute4x64(Avx.Permute2x128(
                    vr, vi, 0b0011_0001), 0b11_01_10_00));
                }
            }
        for (; i < result.Length; i++)
            r[i] = new(p[i], q[i]);
    }
    return result;
}

El tiempo de ejecución se reduce "sólo" a las tres cuartas partes, pero yo creo que merece la pena.

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El algoritmo de Welford

En la entrada sobre la varianza, vimos que podíamos tener problemas de estabilidad numérica si intentábamos calcular la varianza en una sola pasada sobre los datos, usando inocentemente la definición matemática. La solución de entonces fue usar un algoritmo de dos pasos: calcular la media en el primer paso, y en el segundo, calcular la varianza de la muestra menos la media. Había otra posibilidad: usar el primer valor de la secuencia como estimado malo de la media, y restar ese valor a las sucesivas muestras.

¿Podríamos hacer algo mejor si corrigiésemos el estimado de la media sobre la marcha? Resulta que se puede, y el primero en darse cuenta fue Welford, allá por el 1962. Donald Knuth incluyó el algoritmo en el segundo tomo de The Art of Computer Programming. El algoritmo original sólo calculaba la media y la varianza sobre la marcha, pero Timothy Terriberry, en 2007, lo amplió para que calculase momentos superiores. Este algoritmo está implementado, por ejemplo, en Math.Net Numerics, aunque la implementación es mejorable.

¿Qué nos da?

En AUSTRA, la clase que implementa este algoritmo se llama Accumulator. Hay también una clase simplificada, SimpleAccumulator, que sólo calcula los dos primeros momentos, con el beneficio evidente de tener que ejecutar menos trabajo.

La definición de Accumulator, junto con su constructor principal y los campos y propiedades de almacenamiento, es la siguiente:

/// Calculates statistics by adding samples.
public sealed class Accumulator
{
    ///Minimum value.
    private double min = double.PositiveInfinity;
    ///Maximum value.
    private double max = double.NegativeInfinity;
    ///Estimated mean.
    private double m1;
    ///Accumulated second moment.
    private double m2;
    ///Accumulated third moment.
    private double m3;
    ///Accumulated fourth moment.
    private double m4;

    ///Gets the total number of samples.
    public long Count { get; private set; }

    ///Creates an empty accumulator.
    public Accumulator() { }

    /* … */
}

La información que nos interesa se obtiene a través de estos campos, por medio de propiedades calculadas:

///Returns the minimum value.
public double Minimum => Count > 0 ? min : double.NaN;
///Returns the maximum value.
public double Maximum => Count > 0 ? max : double.NaN;
///Gets the sample mean.
public double Mean => Count > 0 ? m1 : double.NaN;
///Gets the unbiased variance.
public double Variance =>
    Count < 2 ? double.NaN : m2 / (Count - 1);
///Gets the unbiased standard deviation.
public double StandardDeviation =>
    Count < 2 ? double.NaN : Sqrt(m2 / (Count - 1));
///Gets the unbiased population skewness.
public double Skewness =>
    Count < 3
    ? double.NaN
    : Count * m3 * Sqrt(m2 / (Count - 1))
        / (m2 * m2 * (Count - 2)) * (Count - 1);
///Gets the unbiased population kurtosis.
public double Kurtosis =>
    Count < 4
    ? double.NaN
    : ((double)Count * Count - 1)
        / ((Count - 2) * (Count - 3))
        * (Count * m4 / (m2 * m2) - 3 + 6.0 / (Count + 1));

He omitido, por brevedad, el cálculo de propiedades como PopulationVariance, PopulationSkewness y demás. De todas maneras, están disponibles en el código de Austra, y en el propio código de Math.NET Numerics.

¿Qué le damos?

Para alimentar al acumulador, hay que pasarle las muestras, al menos en principio, de una en una, por medio de un método que hemos nombrado Add:

/// Adds a sample to this accumulator.
/// The new sample.
public void Add(double sample)
{
    ++Count;
    double d = sample - m1, s = d / Count;
    double t = d * s * (Count - 1);
    m1 += s;
    m4 += (t * s * (Count * (Count - 3 + 3)
        + 6 * s * m2 - 4 * m3) * s;
    m3 += (t * (Count - 2) - 3 * m2) * s;
    m2 += t;
    if (sample < min) min = sample;
    if (sample > max) max = sample;
}

Hay algunas pequeñas mejoras en el código anterior, respecto al original. Hay algunas multiplicaciones menos, y está todo preparado por si quisiéramos usar alguna instrucción de fusión de multiplicación y suma. No las he usado porque tengo algunas dudas sobre la eficiencia en .NET Core. Es cierto que siempre tienes la ventaja de la mayor exactitud, pero ya veremos dónde sí se usan (en pocas palabras: donde realmente importan).

Combinando acumuladores

Lo mejor de todo es que podemos combinar los valores en dos acumuladores independientes y generar un acumulador de los datos conjuntos. Esto nos permitiría, por ejemplo, dividir una muestra grande en cuatro partes, calcular cuatro acumuladores en paralelo, y luego mezclarlos en el resultado final.

public static Accumulator operator +(
    Accumulator a1, Accumulator a2)
{
    if (a1.Count == 0) return a2;
    if (a2.Count == 0) return a1;

    long n = a1.Count + a2.Count, n2 = n * n;
    double d = a2.m1 - a1.m1, d2 = d * d;
    double d3 = d2 * d, d4 = d2 * d2;
    double m1 = (a1.Count * a1.m1 + a2.Count * a2.m1) / n;
    double m2 = a1.m2 + a2.m2 + d2 * a1.Count * a2.Count / n;
    double m3 = a1.m3 + a2.m3
        + d3 * a1.Count * a2.Count * (a1.Count - a2.Count) / n2
        + 3 * d * (a1.Count * a2.m2 - a2.Count * a1.m2) / n;
    double m4 = a1.m4 + a2.m4 + d4 * a1.Count * a2.Count
            * (a1.Count * (a1.Count - a2.Count)
                + a2.Count * a2.Count) / (n2 * n)
        + 6 * d2 * (a1.Count * a1.Count * a2.m2
            + a2.Count * a2.Count * a1.m2) / n2
        + 4 * d * (a1.Count * a2.m3 - a2.Count * a1.m3) / n;
    return new() {
        Count = n,
        m1 = m1, m2 = m2, m3 = m3, m4 = m4,
        min = Min(a1.min, a2.min),
        max = Max(a1.max, a2.max),
    };
}

El código es complicado, y es fácil equivocarse copiando y pegando (ya me ha pasado). De todas maneras, es una clase que es fácil de testear.

El primer impulso es dejarlo aquí, y confiar en el paralelismo con tareas para cuando queremos acelerar el código. Mi problema con esto es que, cuando escribo código para una librería, prefiero realizar la aceleración básica con código vectorial (AVX o lo que esté disponible). ¿Por qué? Pues porque por experiencia, el programador que usa luego la biblioteca prefiere tener la opción del paralelismo por tareas para su propio código. Es cierto que las tareas se combinan más o menos bien en .NET, gracias al thread-pool que obtienes del entorno de ejecución, sin esforzarte demasiado; en Java, todo es más complicado con sus malditos executors.

Drum roll, please...

Prefiero, por lo tanto, ganar todo lo que pueda en paralelismo en una librería a golpe de instrucciones SIMD. Y esto es precisamente lo que hacemos en Accumulator con el siguiente método y algunos más que lo llaman:

public unsafe void Add(double* samples, int size)
{
    int i = 0;
    if (Avx.IsSupported && size >= 16)
    {
        var vMin = Vector256.Create(double.PositiveInfinity);
        var vMax = Vector256.Create(double.NegativeInfinity);
        var vM1 = Vector256<double>.Zero;
        var vM2 = Vector256<double>.Zero;
        var vM3 = Vector256<double>.Zero;
        var vM4 = Vector256<double>.Zero;
        var v3 = Vector256.Create(3.0);
        var v4 = Vector256.Create(4.0);
        var v6 = Vector256.Create(6.0);
        long c = 0;
        for (int top = size & CommonMatrix.AVX_MASK;
             i < top; i += 4)
        {
            c++;
            var vSample = Avx.LoadVector256(samples + i);
            vMin = Avx.Min(vMin, vSample);
            vMax = Avx.Max(vMax, vSample);
            var vd = Avx.Subtract(vSample, vM1);
            var vs = Avx.Divide(vd,
                Vector256.Create((double)c));
            var vt = Avx.Multiply(Avx.Multiply(vd, vs),
                Vector256.Create((double)(c - 1)));
            vM1 = Avx.Add(vM1, vs);
            var t1 = Avx.Multiply(Avx.Multiply(vt, vs),
                Vector256.Create((double)(c * (c - 3) + 3)));
            var t2 = Avx.Multiply(Avx.Multiply(vs, vM2), v6);
            var t3 = Avx.Multiply(v4, vM3);
            vM4 = vM4.MultiplyAdd(Avx.Subtract(
                Avx.Add(t1, t2), t3), vs);
            t1 = Avx.Multiply(vt,
                Vector256.Create((double)(c - 2)));
            t2 = Avx.Multiply(vM2, v3);
            vM3 = vM3.MultiplyAdd(Avx.Subtract(t1, t2), vs);
            vM2 = Avx.Add(vM2, vt);
        }
        var acc01 = Mix(c,
            vM1.ToScalar(), vM2.ToScalar(),
            vM3.ToScalar(), vM4.ToScalar(),
            vM1.GetElement(1), vM2.GetElement(1),
            vM3.GetElement(1), vM4.GetElement(1));
        var acc23 = Mix(c,
            vM1.GetElement(2), vM2.GetElement(2),
            vM3.GetElement(2), vM4.GetElement(2),
            vM1.GetElement(3), vM2.GetElement(3),
            vM3.GetElement(3), vM4.GetElement(3));
        var a = Mix(c + c,
            acc01.m1, acc01.m2, acc01.m3, acc01.m4,
            acc23.m1, acc23.m2, acc23.m3, acc23.m4);
        if (Count == 0)
            (Count, m1, m2, m3, m4)
                = (4 * c, a.m1, a.m2, a.m3, a.m4);
        else
        {
            long acCnt = 4 * c, n = Count + acCnt, n2 = n * n;
            double d = a.m1 - m1, d2 = d * d;
            double d3 = d2 * d, d4 = d2 * d2;

            double nm1 = (Count * m1 + acCnt * a.m1) / n;
            double nm2 = m2 + a.m2 + d2 * Count * acCnt / n;
            double nm3 = m3 + a.m3
                + d3 * Count * acCnt * (Count - acCnt) / n2
                + 3 * d * (Count * a.m2 - acCnt * m2) / n;
            m4 += a.m4 + d4 * Count * acCnt
                    * (Count * (Count - acCnt) 
                        + acCnt * acCnt) / (n2 * n)
                + 6 * d2 * (Count * Count * a.m2
                    + acCnt * acCnt * m2) / n2
                + 4 * d * (Count * a.m3 - acCnt * m3) / n;
            (m1, m2, m3, Count) = (nm1, nm2, nm3, n);
        }
        min = Min(min, vMin.Min());
        max = Max(max, vMax.Max());
    }
    for (; i < size; ++i)
        Add(samples[i]);

    static (double m1, double m2, double m3, double m4) Mix(
        long c,
        double a1, double a2, double a3, double a4,
        double b1, double b2, double b3, double b4)
    {
        long n = c + c, n2 = n * n;
        double d = b1 - a1, d2 = d * d, d4 = d2 * d2;
        return (
            (a1 + b1) / 2,
            a2 + b2 + d2 * c / 2,
            a3 + b3 + 3 * d * (b2 - a2) / 2,
            a4 + b4 + d4 * c / 8 + 3 * d2 * (b2 + a2) / 2
               + 2 * d * (b3 - a3));
    }
}

Observe que la precondición para aprovechar las instrucciones vectoriales es tener todo un array de muestras a nuestra disposición. Si nos diesen un IEnumerable<double>, tendríamos que hacer maniobras como materializar las muestras en grupos de cuatro, en un array, y alimentar así al animalito vectorial.

El código es relativamente sencillo, si miramos con atención. La parte AVX prácticamente repite el código del Add escalar. Por cada campo de Accumulator hay un vector de doble precisión. La excepción es la propiedad Count, y la tratamos diferente porque para los cuatro acumuladores virtuales que maneja el método, la cantidad de muestras es siempre la misma.

Esto es una ventaja cuando tenemos que mezclar los resultados de los cuatro acumuladores. La función interna estática Mix aprovecha la igualdad de los contadores para simplificar algebraicamente algunas fórmula. Observe, por ejemplo, que la fórmula para el m3 combinado es más sencilla, al anularse uno de los términos.

Una vez que hemos mezclado los cuatro acumuladores parciales, mezclamos el resultado, a su vez, con los valores que pueda haber ya en el propio acumulador (si los hubiera). Aquí no podemos simplificar tanto, porque los contadores nuevos y antiguos pueden ser muy diferentes, aunque en el caso en el que el acumulador inicial no tuviese muestras, es todo más simple.

Si quiere hacerse una idea de cuánto mejora este tipo de procesamiento vectorial, los benchmarks que he ejecutado me dan casi cinco veces más velocidad. Es extraño, porque yo esperaría una mejora de 4x, pero puede deberse a que aquí sí hacemos uso de las instrucciones FMA vectoriales, cuando están disponibles. Las instrucciones FMA están escondidas en los métodos de extensión MultiplyAdd que presenté en esta entrada.

Por cierto, la niña de la imagen de la entrada tiene poco que ver con el algoritmo, pero estoy usando imágenes generadas por AI, entre otros motivos, para evitar problemas de derechos de autor. En este caso, le pedí a la AI que generase una niña perdida e indefensa en un universo digital simulado. En parte, la AI me hizo caso; en parte, ignoró la petición. Pero el resultado me gusta, y ahí lo tiene.

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C#

Safe indexers

El lenguaje de AUSTRA es un sencillo lenguaje de fórmulas, inspirado mayormente en la Programación Funcional. Esto lo hace fácil de usar, y sobre todo, lo hace bastante seguro: no nos deja estropear los datos de una serie que hemos obtenido, por ejemplo, desde una fuente de pago. Al mismo tiempo, nos obliga a ser «creativos» para resolver problemas que serían más sencillos en un lenguaje tradicional.

Por ejemplo, digamos que quiero crear un vector de 1024 elementos, con la serie de números cuadrados. Eso es sencillo, si usamos el constructor (o «método de clase») apropiado. En el lenguaje de AUSTRA, se hace así:

vector::new(1024, i => (i + 1)^2)

AUSTRA soporta constructores con nombres: a diferencia de C#, en los que todos los constructores se definen con el nombre de la clase, AUSTRA nos permite distinguir entre constructores por medio de sus nombres. Por ejemplo, estas son maneras alternativas de construir una matriz:

-- Una matriz de 10x10, con una función lambda para las celdas.
matrix::new(10, 10, (fila, columna) => fila * 10 + columna)
-- Una matriz de 2x4, a la que le pasamos dos vectores.
matrix::rows([1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8])
-- Una matriz de covarianza de cuatro series temporales.
matrix::cov(aapl, msft, dax, esx)

En un lenguaje como el de MATLAB, casi seguramente, tendríamos tres funciones globales para conseguir lo mismo. Con el truco de AUSTRA, evitamos identificadores globales, que terminan colisionando entre ellos y teniendo que adoptar nombres crípticos. Nos evitamos también las cábalas que hay que hacer en lenguajes como C# o Java para averiguar cuál es el constructor adecuado de acuerdo a los parámetros que estamos pasando. En el fondo, un constructor de AUSTRA termina llamando indistintamente a un constructor de C# o a un método estático. Lo importante es que el lenguaje nos abstrae de estos detalles de implementación.

Volviendo al ejemplo del vector, hemos utilizado un constructor que recibe el tamaño deseado, y una función lambda que devuelve los valores de cada celda. Digamos ahora, para complicarlo, que lo que queremos es la secuencia de Fibonacci. La solución más sencilla que se me ha ocurrido es permitir que la función lambda pueda tener un parámetro adicional que apunte al propio vector que estamos construyendo. Este ejemplo sigue siendo idéntico al anterior, pero ya estamos pasando un parámetro adicional en la función lambda, aunque no lo utilicemos de momento:

vector::new(1024, (i, v) => (i + 1)^2)

¿Es esto limpio y seguro? Por supuesto. El parámetro v nunca va a ser nulo, y de hecho, ya nos llega medio cocido: la primera vez que se llama la función lambda, todos sus elementos están a cero. La siguiente vez, estará asignado el primero elemento. Y así sucesivamente. Tenemos un contrato que nos garantiza el orden en que se van a inicializar los elementos del vector. Tenga presente que una posible implementación, para un vector suficientemente grande, podría usar paralelismo para rellenar segmentos concurrentemente. Pero cuando usamos esta variante del constructor, tenemos la garantía de que la inicialización va a ser secuencial.

Ahora veamos una primera versión de Fibonacci:

vector::new(1024, (i, v) =>
  if i <= 1 then 1 else v[i-1] + v[i-2])

Esto funciona perfectamente. El if de marras no es una instrucción: es una expresión condicional ternaria, como la interrogación y los dos puntos en C/C# y familia. En el caso más habitual, sumamos los dos elementos anteriores, que ya estarán inicializados. Si nos diese por hacer referencia a un elemento posterior, no sería un problema, excepto que su valor sería cero. Y la expresión condicional nos ahorra una excepción de acceso fuera de rango.

AUSTRA tiene un mecanismo más potente para estos casos, sin embargo:

vector::new(1024, (i, v) =>
  if i = 0 then 1 else v{i-1} + v{i-2})

Esta vez, tenemos un solo caso especial: el del primer elemento del vector. El cambio está en la forma en que accedemos a los elementos de v: con llaves, en vez de corchetes. Esto es lo que he llamado un safe indexer, o indexador seguro. Si el valor del índice está en rango, todo procede como de costumbre. En caso contrario, la expresión devuelve un cero. Es como si tuviésemos una memoria infinita, en la que una región de la misma puede tener valores distintos de cero, pero fuera de esa región, todo es cero. Como se trata de un lenguaje funcional, además, no existe la posibilidad de escribir en la región "externa" de la memoria del vector: no podemos hacer asignaciones ni a v[0] ni a v{v.length}, por ejemplo, aunque la primera expresión se refiera a un elemento que realmente existe.

Otras aplicaciones

En Econometría, se conoce como serie temporal autoregresiva de orden p a la que se construye de acuerdo a esta fórmula:
$$X_t = \sum_{i=1}^{p}{\phi_i X_{t - i}} + \epsilon_t$$
El símbolo $\epsilon_t$ se refiere a variables aleatorias con una distribución normal estándar. Los coeficientes $\phi_i$ son números reales que definen el comportamiento de la serie. Se trata, por supuesto, de una serie que combina ruido blanco con una retroalimentación limitado de valores anteriores. Por ejemplo, en high-frequency trading, los precios de ejecución de un activo suelen poderse representar con una serie autoregresiva, en muchos casos.

Este es el caso de uso que me ha obligado a implementar estos indexadores seguros. La forma de construir una serie autoregresiva en AUSTRA es la siguiente:

let r=vector::nrandom(1024) in
    vector::new(r.length, (i, v) =>
        r[i] + 0.7*v{i-1} + 0.1*v{i-2})

Primero construimos un vector aleatorio usando el constructor vector::nrandom. La cláusula let nos permite crear una variable local a la fórmula, a la que podemos hacer referencia en lo que queda de fórmula. El resto es fácil de adivinar: no hace falta un indexador seguro para acceder a r, pero sí a los elementos anteriores del vector que estamos construyendo.

Implementación en C#

La implementación del indexador seguro en C# puede resultar interesante, por las técnicas de "bajo nivel" que utiliza. Esta es la función de la clase Vector que implementa dicha funcionalidad:

[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
public double SafeThis(int index) =>
    (uint)index >= values.Length
    ? 0.0
    : Unsafe.Add(
        ref MemoryMarshal.GetArrayDataReference(values),
        index);

Vector es, en AUSTRA, una estructura muy ligera que se limita a encapsular un campo values de tipo double[]. La implementación podría ser una consulta de rango, seguida de un acceso "normal" a los datos del vector:

public double SafeThis(int index) =>
    index >= 0 && index < values.Length ? values[index] : 0.0;

Pero AUSTRA es una librería que se va a utilizar en cosas que a priori no te puedes imaginar, y en estos casos, optimizar bien el código no puede calificarse de "optimización prematura".

En este caso, he usado varios trucos, que son bastante usados por el propio código de .NET Core:

  • Primero, está el truco de convertir el índice en un entero sin signo, para ahorrarnos una comparación y un salto. Si nos pasan un índice negativo, el valor reconsiderado como entero sin signo va a ser inevitablemente mayor que la longitud del array.
  • Luego está el truco indescriptiblemente sucio de usar MemoryMarshal.GetArrayDataReference para obtener la dirección de memoria donde comienza el array. Este truco sólo puede fallar si value fuese un puntero nulo, pero no es el caso.
  • Finalmente, el método Unsafe.Add suma el índice a esa posición inicial y devuelve el valor del elemento. Este es un truco más tolerable.

Al final, el compilador y el JIT generan más o menos el mismo código que para un acceso normal "verificado", pero con la particularidad de devolver cero si el índice está fuera de rango, que es lo que queríamos. No se añade código innecesario.

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C#

La la, how their life goes on

Si insisto tanto en estos temas de instrucciones vectoriales, es parar preparar a mis lectores potenciales para que usen estas técnicas cuando lo crean necesario. Naturalmente, las primeras explicaciones van a ser del tipo heroico: todo hay que hacerlo a mano, razonando desde los primeros principios. Pero, como decía Molly Jones, la mujer de Desmond Jones, la la, how their life goes on: la vida sigue su curso, y lo normal en la vida de un programador es usar las técnicas que todos conocemos y apreciamos para ahorrarnos esfuerzo.

Lo primero para que todos nos ahorremos trabajo, por supuesto, consiste en usar estas cosas a través de una librería bien probada. Ya existen unas cuantas de estas, pero estoy creando Austra porque hay un nicho muy concreto, y porque la librería tiene méritos propios. La idea es hacer de Austra un proyecto open source, por supuesto. En este momento está en GitHub, pero no es por ahora un repositorio público porque la aplicación de «pruebas» está basada en WPF y DevExpress. O me compro personalmente una licencia comercial, o cambio los controles por algo gratuito. No es sencillo. Hay cosas como Avalonia o Uno Platform, que además, son multiplataformas, pero son bastante pobres en componentes. Y no quiero ni oír hablar de .NET MAUI: es un fracaso, de momento. Antes que usar .NET MAUI, prefiero «degradar» la aplicación a Windows Forms (tengo un editor de código bastante bueno) y currarme los gráficos y las cosas que falten. Pero a eso vamos: a que Austra esté disponible gratuitamente como open source, que cualquier que quiera pueda colaborar, que haya un conjunto de tests y benchmarks exhaustivo, etc, etc.

Pero no se escribe un post para explicar lo obvio. Mi verdadero objetivo ahora es explicar un par de técnicas muy tontas que bajan el listón del heroísmo al escribir este tipo de código, y que todos conocemos, pero que nos puede dar miedo usar a primeras, porque no sabes cómo va a interferir en la generación de código de .NET 7 y .NET 8 (que tiene sus cagadas, como todo).

Primer ejemplo: resulta que mucho de estos algoritmos algebraicos calculan el producto escalar de dos zonas de memoria en muchos casos. Hay una clase Vector con su correspondiente producto escalar, e incluso un ComplexVector, pero es mejor tener una rutina que maneje directamente zonas de memoria con un tamaño predeterminado. Austra tiene una clase estática CommonMatrix que precisamente implementa estas cosas. Ésta es la última versión del método en cuestión:

/// <summary>
/// Computes the dot product of two double arrays.
/// </summary>
/// <param name="p">Pointer to the first array.</param>
/// <param name="q">Pointer to the second array.</param>
/// <param name="size">Number of items in each array.</param>
/// <returns>A sum of products.</returns>
[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
public unsafe static double DotProduct(
    double* p, double* q, int size)
{
    double sum;
    int i = 0;
    if (Avx.IsSupported)
    {
        Vector256<double> acc = Vector256<double>.Zero;
        for (int top = size & AVX_MASK; i < top; i += 4)
            acc = acc.MultiplyAdd(p + i, q + i);
        sum = acc.Sum();
    }
    else
        sum = 0;
    for (; i < size; i++)
        sum += p[i] * q[i];
    return sum;
}

A primera vista, lo único raro aquí es el atributo que fuerza un inlining agresivo. Pero hay un par de cosillas más que no son métodos habituales de AVX. Los muestro aparte aquí, porque son métodos de extensión de la misma clase CommonMatrix:

/// <summary>Sums all the elements in a vector.</summary>
/// <param name="v">
/// A intrinsics vector with four doubles.
/// </param>
/// <returns>The total value.</returns>
[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
internal static double Sum(this Vector256<double> v)
{ 
    v = Avx.HorizontalAdd(v, v);
    return v.ToScalar() + v.GetElement(2);
}

Resulta que sumar los cuatro elementos de un vector de cuatro dobles no es moco de pavo. Hay teorías que pululan por la Internet sobre cuál es la forma eficiente de lograrlo. Yo no estoy seguro aún de que la mía sea la más eficiente, pero gracias al encapsulamiento en un método separado, si descubro algo mejor, tendré que tocar el código en un único lugar. Obvio, ¿no? Pero hasta comprobar que el JIT de .NET Core no se volvía loco, no me atreví a dar este paso. Ya he comprobado que no pasan cosas raras.

Es curioso, sin embargo, que el mínimo y el máximo de un vector se calcule más eficientemente con un método como el siguiente:

[MethodImpl(MethodImplOptions.AggressiveInlining)]
internal static double Max(this Vector256<double> v)
{
    var x = Sse2.Max(v.GetLower(), v.GetUpper());
    return Math.Max(x.ToScalar(), x.GetElement(1));
}

En este caso, no parece que la transición temporal a una instrucción SSE haga mucho daño al código que la rodea. De todas maneras, observe que para la reducción final al escalar hay que ir a por el segundo elemento directamente. Cosas de Intel.

Éste es otro método que usa el código original, omitiendo esta vez los comentarios XML:

internal unsafe static Vector256<double> MultiplyAdd(
    this Vector256<double> summand,
    double* multiplicand,
    double* multiplier) =>
    Fma.IsSupported
        ? Fma.MultiplyAdd(
            Avx.LoadVector256(multiplicand),
            Avx.LoadVector256(multiplier),
            summand)
        : Avx.Add(summand, Avx.Multiply(
            Avx.LoadVector256(multiplicand),
            Avx.LoadVector256(multiplier)));

Hay un par de variantes más que usan vectores directamente en vez de direcciones, y variantes adicionales para MultiplySubtract y MultiplyAddNegated, que sons métodos FMA. Estas aparentes tonterías ahorran líneas y líneas de código. En mi caso, como tengo memoria fotográfica, prefiero que el código fuente sea lo más pequeño posible para poder recordarlo más adelante.